Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 103Fig. 2.23. Transformada de Fourier de pulsos de distinto ancho.La transformada inversa no es tan directa, y se basa el resultado (2.52). Entonces,x (t) =Z ∞−∞Ke j2π f t dt =Z ∞−∞K cos (2π f t) dt = Kδ (t) ,lo que establece el par transformado que se muestra en la Fig. 2.22.x(t) = Kδ (t) ⇔ X ( f ) = K. Una manera alternativa de obtener la transformada de un impulso es considerando nuevamenteel Ejemplo 2.10, haciendo tender a cero el ancho del pulso (T 0 → 0). Para mantenerla energía del pulso constante, cada disminución del ancho se acompaña por unincremento en la altura del pulso (Fig. 2.23). A medida que el ancho del pulso disminuye,aumenta el valor de la abscisa para el cual se produce el primer cero de la transformada(el primer cero del “sinc”). En el límite, cuando el ancho del pulso tiende a cero (y sualtura a infinito, pese a lo cual el área queda constante), la transformada tiende a unaconstante. Este comportamiento es un ejemplo de la relación inversa que existe entre losdominios tiempo y frecuencia. Más adelante se estudiará este fenómeno desde el puntode vista de la propiedad de escalado en frecuencia de la transformada de Fourier.Es interesante notar que el valor de la transformada en el origen es igual al área del pulso,lo que resulta evidente a partir de la definición:Z ∞X (0) = x (t) e −j2π f t Z ∞dt = x (t) dt = área bajo la función x (t) .f =0−∞−∞Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011