Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 89Fig. 2.15. Integración de una función impar.La segunda integral es nula porque cada término del integrando es una función impar. La Fig. 2.15muestra el primer integrando de la segunda integral y permite una interpretación gráfica. Como lafunción es impar, g (t) = −g (−t) , y en consecuencia, el área bajo la función desde − f 0 hasta f 0 esnula. En el límite, a medida que f → ∞ la integral de la función es nula 7 . Bajo estas consideraciones,x(t) =βα(2π) 2 Z ∞−∞De una tabla de integrales, se tiene queZ ∞y por lo tanto,−∞cos axb 2 + x 2 dx = π b e−ab , a > 0,x (t) =cos (2π f t)(α/2π) 2 + f 2 d f + 2πβ(2π) 2 Z ∞Z ∞−∞βα π(2π) 2 α/2π e−(2πt)(α/2π)= β 2 e−αt + β 2 e−αt−∞f sin (2π f t)(α/2π) 2 + f 2 d f .x sin axb 2 + x 2 dx = πe−ab , a > 0,+ 2πβ(2π) 2 hπe −(2πt)(α/2π)i= βe −αt , t > 0. En general, si las funciones x(·) y X (·) están relacionadas por las ecuaciones (2.35) y(2.37), se dice que las dos funciones forman un par transformado de Fourier, y esta relaciónse indicax (·) ⇔ X (·) .Otra notación usual esX (·) = F {x (·)} y x (·) = F −1 {X (·)} .7 En realidad, cualquier integral de −∞ a +∞ es en realidad un límite definido porZ +∞−∞x (t) dt =Z +T2límT 1 ,T 2 →∞ −T 1x (t) dt (2.39)donde T 1 y T 2 tienden a infinito independientemente uno del otro. El valor principal de Cauchy (VPC) de unaintegral es un límite más específico, definido como Z +∞ Z +TVPC x (t) dt = lím x (t) dt. (2.40)−∞T→∞ −TMientras que (2.39) implica (2.40), es posible que exista (2.40) pero no (2.39): por ejemplo, la integral (2.40)de todas las funciones impares es nula, pero la integral (2.39) de estas funciones puede no existir. Para lasfunciones que satisfacen la Condición 1 (véase la Sección 2.3.3) las integrales de Fourier pueden interpretarseen el sentido de (2.39). En cambio, para las funciones que satisfacen la Condición 2 las transformadas sedefinen por el valor principal de Cauchy (2.40) de la integral.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011