Transformada de Fourier

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2.5. Propiedades de la transformada de Fourier 125Fig. 2.42. Par transformado de Fourier de una función par.El par transformado se obtiene de manera trivial:X ( f ) ===Z ∞−∞Z ∞−∞Z ∞−∞x (t) e −j2π f t dtx e (t) cos (2π f t) dt − jZ ∞−∞x e (t) cos (2π f t) dt = R e ( f ) .x e (t) sen (2π f t) dtLa parte imaginaria se anula ya que el integrando es una función impar. Como cos (2π f t)es una función par, x e (t) cos (2π f t) = x e (t) cos [2π (− f ) t] y entonces, X e ( f ) = X e (− f ):la transformada es par. De manera similar, si X ( f ) es una función real y par de la frecuencia,la fórmula de síntesis permite obtenerx (t) ===Z ∞−∞Z ∞−∞Z ∞−∞X e ( f ) e j2π f t d f =Z ∞−∞R e ( f ) cos (2π f t) d f + jR e ( f ) e j2π f t d fZ ∞−∞R e ( f ) cos (2π f t) d f = x e (t) .R e ( f ) sen (2π f t) d fEJEMPLO 2.26. Funciones paresComo se muestra en la Fig. 2.42, la transformada de Fourier de una función par es una función realy par de la frecuencia; recíprocamente, la transformada inversa de Fourier de una función real y parde la frecuencia es una función par del tiempo.2.5.8. Funciones imparesSi x o (t) = −x o (−t), entonces x o (t) es una función impar del tiempo, y su transformadade Fourier es una función impar e imaginaria:X ( f ) ==Z ∞−∞Z ∞= −j−∞Z ∞x o (t) e −j2π f t dtx o (t) cos (2π f t) dt − j−∞Z ∞−∞x o (t) sen (2π f t) dt = jI o ( f ) .x o (t) sen (2π f t) dtEl integrando real es nulo ya que la multiplicación de una función par por una impares una función impar. Como sen (2π f t) es una función impar, x o (t) sen (2π f t) =Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
126 2. Análisis de FourierFig. 2.43. Par transformado de Fourier de una función impar.−x o (t) sen [2π (− f ) t] y entonces, x o ( f ) = −x o (− f ): la transformada es impar. Análogamente,si X ( f ) es una función impar e imaginaria, la fórmula de síntesis permiteobtenerx (t) == j= jZ ∞= −−∞Z ∞−∞Z ∞−∞Z ∞X ( f ) e j2π f t d f−∞I o ( f ) e j2π f t d fI o ( f ) cos (2π f t) d f + jZ ∞−∞I o ( f ) sen (2π f t) d f = x o (t) ,jI o ( f ) sen (2π f t) d fy la función x o (t) resultante es impar. El par transformado de Fourier está dado porZ ∞x o (t) ⇔ jI o ( f ) = −j x o (t) sen (2π f t) dt.−∞EJEMPLO 2.27. Funciones imparesUn ejemplo de este par transformado se muestra en la Fig. 2.43. La función x (t) es impar en t; por lotanto, la transformada de Fourier es impar (en f ) y imaginaria. Recíprocamente, si la transformadaX ( f ) es imaginaria e impar en f , la transformada inversa de Fourier es una función temporal imparen t.2.5.9. Descomposición de ondasUna función arbitraria puede descomponerse de manera única como la suma de unafunción par y otra impar:dondex (t) = 1 2 x (t) + 1 2 x (t) = 1 2 [x (t) + x (−t)] + 1 [x (t) − x (−t)]2= x e (t) + x o (t) . (2.73)x e (t) = 1 [x (t) + x (−t)] , (2.74)2x o (t) = 1 [x (t) − x (−t)] . (2.75)2Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
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Page 3 and 4: 84 2. Análisis de FourierFig. 2.11
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