Transformada de Fourier

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2.4. Señales periódicas y la transformada de Fourier 109Fig. 2.29. (a) Tren de impulsos periódico; (b) su transformada de Fourier.Esta señal es periódica, con período fundamental T. Para determinar su transformada de Fourier secalculan los coeficientes de la serie de Fourierc k = 1 TZ T/2−T/2δ (t) e −jk 2π T t dt = 1 Tpara todo k ∈ Z.En base a este resultado y la ecuación (2.60) resulta que la transformada de Fourier de un tren deimpulsos esX ( f ) = 1 ∞T∑ δ f − k .Tk=−∞El resultado indica que la transformada de un tren de impulsos en tiempo es un tren de impulsos enfrecuencia, como muestra la Fig. 2.29(b). Se vuelve a notar aquí la relación inversa entre los dominiostiempo y frecuencia: a medida que el espaciado entre los impulsos en tiempo se hace mayor (aumentael período T), el espaciado entre los impulsos en el dominio frecuencia (la frecuencia fundamentalf 0 = 1/T) disminuye.EJEMPLO 2.18. El tren de impulsos en función de la frecuencia angularEs habitual que muchos textos expresen los pares transformados de Fourier en función de la frecuenciaangular Ω. Como ya vimos, la relación entre X (Ω) y X ( f ) es sencillamente X(Ω) =X ( f )| f =Ω/(2π). En el caso particular del tren de impulsos, la propiedad de escalado del impulsohace que la transformada pueda expresarse de manera ligeramente diferente. Hemos visto que eltren de impulsos satisface el par transformadox (t) =∞∑ δ (t − nT 0 ) ⇔ X ( f ) = 1 ∞n=−∞T 0∑ δk=−∞f − k T 0. (2.62)Sabiendo que Ω = 2π f , definiendo Ω 0 = 2π/T 0 , y aplicando la propiedad de escalado del impulso,1T 0∞∑ δ f − k Tk=−∞0= 1 T 0∞∑= 2πT 0k=−∞ 1δ 2π f − 2π k = 2π ∞2π T 0 T 0∑ δ Ω − 2π kTk=−∞0∞∑ δ (Ω − Ω 0 k) ,k=−∞y entonces la relación (2.62) puede ser re-escrita en función de la frecuencia angular Ω comox (t) =∞∑ δ (t − nT 0 ) ⇔ X (Ω) = Ω 0∞∑ δ (Ω − kΩ 0 ) ,n=−∞k=−∞que coincide con la expresión dada por Papoulis (1962).Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
110 2. Análisis de FourierFig. 2.30. Desarrollo de la transformada de Fourier de una sucesión de impulsos equiespaciados.EJEMPLO 2.19. Transformada de un tren de impulsosAunque la demostración rigurosa se presenta en el Ejemplo 2.17, es interesante “demostrar”, almenos intuitivamente, que la transformada de Fourier de un tren de impulsos equiespaciados entiempo es otro tren de impulsos equiespaciados en frecuenciax (t) =∞∑ δ (t − nT 0 ) ⇔ X ( f ) = 1 ∞n=−∞T 0∑ δk=−∞f − k T 0. (2.63)Un desarrollo gráfico del par transformado se puede apreciar en la Fig. 2.30. En esta figura, se partede impulsos separados f 0 = 1/T 0 en el dominio frecuencia y se observa qué sucede en el dominiotiempo. Para el caso mostrado en la Fig. 2.30(a) (derecha), se tienen tres impulsos en el dominiofrecuencia:X ( f ) = δ ( f ) + δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 ) ,y en consecuencia,x (t) = 1 + e j2π f 0t + e −j2π f 0t = 1 + 2 cos (2π f 0 t) ,Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
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Page 3 and 4: 84 2. Análisis de FourierFig. 2.11
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Page 36 and 37: 2.5. Propiedades de la transformada

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