Transformada de Fourier

112 2. Análisis de Fourierdefinido porEl espectro del pulso esX( f ) =Z +∞−∞x 1 (t) =x 1 (t)e j2π f t dt = A τ(A/τ, |t| < τ/2,0, |t| > τ/2.Z +τ/2−τ/2e j2π f t dt = A τ1j2π fe j2π f τ 2 − e−j2π f τ 2= A 1(πτ f )j sen (πτ f ) = Asen = A sinc (τ f ) . (2.65)τ 0 jπ f πτ fLas transformadas de Fourier del pulso, para τ = 0,5, 0,2 y 0,1 se muestran en la Fig. 2.32(a)-(c), respectivamente. Se observa que a medida que disminuye el ancho del pulso, el lóbuloprincipal del sinc (·) es cada vez más amplio.Como veremos en la Sección 2.5.4, al estudiar sus propiedades, la transformada de Fourierdel pulso desplazado en T 0 [Fig. 2.31(b)] esX T0 ( f ) = e −j2π f T 0X 1 ( f ) .De modo que la transformada de Fourier de la señal con tres pulsos está dada porX 3 ( f ) = X 1 ( f ) + e j2π f T 0X 1 ( f ) + e −j2π f T 0X 1 ( f )= X 1 ( f ) 1 + e j2π f T 0+ e −j2π f T 0= X 1 ( f ) [1 + 2 cos(2π f T 0 )] .Esta transformada se ilustra en la Fig. 2.32(d)-( f ). Se aprecia que, dependiendo del anchodel pulso, algunos de los“picos” pueden no aparecer [Fig. 2.32(d)]. Obsérvese ademásque la amplitud de los picos tiene como envolvente una “sinc” que depende del anchode los pulsos en el dominio tiempo.La transformada de la función con 2N + 1 pulsos es"#X 2N+1 ( f ) = X 1 ( f )−1+2N∑k=0cos (2πkT 0 f )= X 1 ( f )"1+2N∑k=1cos (2πkT 0 f )#. (2.66)(En la última expresión cambia el valor inicial del índice de la sumatoria de k = 0 a k = 1).Los casos para N = 5, 25, 75, (11, 51, 151 pulsos, respectivamente) se muestran tambiénen la Fig. 2.32(g)-(o): a medida que aumenta el numero de pulsos en el dominio tiempo,la transformada de Fourier se concentra en las cercanías de frecuencias armónicas a laque corresponde con la separación entre pulsos. También se aprecia que a medida quedisminuye el ancho de los pulsos, los “picos” en frecuencia resultan casi de la mismaamplitud.2.4.2. El núcleo de DirichletResulta interesante analizar en detalle las sumas de las ecuaciones (2.64) y (2.66). Porejemplo, en el caso de (2.66), la transformada de un conjunto de 2N + 1 pulsos en eldominio tiempo puede escribirseX 2N+1 ( f ) = X ( f )N∑k=−Ne 2πkT 0 f= X ( f ) (2N + 1)Φ T0 ,2N+1 ( f ) , (2.67)Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011