Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

103.1 Extremos absolutos y puntos críticosb) Valor máximo absoluto y relativo =5 y se alcanza en x=1.Valor mínimo absoluto y relativo =-1 y se alcanza en x=3.3.2) a) Valores críticos 0, 1 y 2. En x=1 la derivada no está definida, en x=0 y x=2 la derivada es cero.b) Valor máximo relativo =5 y se alcanza en x=0. Valor mínimo absoluto y relativo =1 y se alcanzaen x=2. La función no tiene máximo absoluto.3.3) a) Valores críticos -3/2, 0 y 2. En todos estos valores la derivada es cero. b) Valor máximoabsoluto y relativo =4 y se alcanza en x=2. Valor mínimo relativo =-2 y se alcanza en x=3/2. Lafunción no tiene mínimo absoluto.3.2 Monotonía. Criterio de la primera derivadaEn esta sección usaremos la derivada de la función para determinar donde la función crece odecrece. Recordemos que los extremos relativos se presentan en los puntos críticos. También en estasección veremos como usar el signo de la primera derivada para clasificar los puntos críticos comomáximos o mínimos relativos o ninguno. Antes debemos dar la definición de funciones crecientes ydecrecientes en un intervalo I.Definición.- Una función f se dice estrictamente creciente en un intervalo I si para cualesquiera x , x 1 2en I,donde x1 x2entonces f ( x1) f ( x2) . Una función f se dice estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualesquiera x , x 1 2en I, donde x1 x2entonces f ( x1) f ( x2) .Observaciones:1) La palabra estrictamente se suele omitir.2) Si se cumple que x1 x2entonces f ( x1) f ( x2) , diremos que la función es no decreciente.3) Una función es creciente si la gráfica de f asciende de izquierda a derecha. Esto ocurre con lasrectas con pendientes positivas.Similarmente una función decreciente tiene una gráfica que desciende de izquierda a derecha comoocurre con las rectas de pendientes negativas.Observe en el dibujo que en las zonas donde las pendientes de las rectas tangentes sonnegativas la función decrece y donde las pendientes de las rectas tangentes son positivas lafunción crece.