Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 193.3 ConcavidadHemos visto como la primera derivada nos da información del comportamiento de las gráficasde funciones, más específicamente cuando la curva crece y decrece y donde se localizan sus máximosy mínimos relativos.La segunda derivada también aportainformación sobre la gráfica, ella dirá cuando lagráfica se curva hacia abajo y cuando hacia arriba.En el primer caso se hablará de concavidad haciaabajo y en el segundo concavidad hacia arriba.En la figura están las gráficas de dos funcionescrecientes con distinto tipo de concavidad.La figura de abajo permite apreciar las relaciones entre las tangentes a una curva y laconcavidad.Tendremos las siguientes conexiones entre las rectas tangentes y concavidad:1.- Si la gráfica es cóncava hacia abajo entonces las tangentes están por encima de la curva alrededordel punto de tangencia. Por otro lado si la gráfica es cóncava hacia arriba, las tangentes están por abajode la gráfica de la función en una vecindad del punto de tangencia.2.- Si la gráfica es cóncava hacia abajo las pendientes de las rectas tangentes decrecen cuando xcrece. Similarmente si una gráfica es cóncava hacia arriba las pendientes crecen.Recordemos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x0es la derivada en x0.Así que el concepto de concavidad está ligado al crecimiento de la primera derivada. Damos entoncesla siguiente definición de concavidad.Definición.- Sea f derivable en un intervalo abierto I. Se dice que f es cóncava hacia abajo en I si f es decreciente en ese intervalo. Se dice que f es cóncava hacia arriba en I si f es creciente en ese intervalo.Diremos que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba en un intervalo I, si la funciónlo es en ese intervalo.Ya sabemos que para ver crecimiento de una función en un intervalo se examina el signo de suderivada. En este caso se quiere analizar el crecimiento de f , así que la derivada de ella, que es lasegunda derivada f , es la que tenemos que examinarle el signo. El siguiente criterio será útil parabuscar intervalos de concavidad.