Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

66ResumenResumenDefinición.- Sea c un punto en el dominio de f . Si f ( c) 0 o f (c)no está definida entonces c sedenomina un número o valor crítico y ( c , f ( c))un punto crítico.Pasos para encontrar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]:Paso 1.- Encontrar los valores críticos de f en [a,b].Paso 2.- Evaluar f en los valores críticos y en los extremos del intervalo: a y b.Paso 3.- El valor evaluado más grande es el máximo y el menor el mínimo.CRITERIO DE LA DERIVADA PARA EXTREMOS ABSOLUTOS.- Si en un intervalocualquiera hay un solo extremo relativo entonces él necesariamente es absoluto en ese intervalo.Pasos recomendados para clasificar puntos críticos de acuerdo al criterio de la primera derivada1.- Colocar en la recta real todos los puntos críticos de la función, junto con los puntos donde lafunción es discontinua (estos últimos no son puntos críticos, pero si pueden ser puntos donde puedecambiar el signo de la primera derivada).2.- Dentro de cada intervalo limitado por estos puntos escogemos valores de prueba que evaluamos enla primera derivada.Si la primera derivada es positiva entonces la función es creciente en ese intervalo, anotamosSi es negativa entonces la función es decreciente en ese intervalo y anotamos3.- Se concluyea.- Si la función crece a la izquierda de un punto crítico c y luego decrece entonces en c sealcanza un máximo relativo de f.b.- Si la función decrece a la izquierda de un punto crítico c y luego crece entonces en c sealcanza un mínimo relativo de f.c.- Si no hay cambio de monotonía en c entonces c no es un extremo relativo de f.Pasos recomendados para conseguir intervalos de concavidad.Paso 1.- Determinar los x donde f ( x) 0 o f (x)no está definida (incluye los puntos donde lapropia función no está definida).Paso 2.- Colocar en la recta real los x donde f ( x) 0 o f (x)no está definida.Paso 3.- Dentro de cada intervalo limitado por estos puntos escogemos valores de prueba queevaluamos en la segunda derivada. Si la segunda derivada es positiva en el valor de prueba entonces la función es cóncava haciaarriba en ese intervalo. Si la segunda derivada es negativa en el valor de prueba entonces la función es cóncava haciaabajo en ese intervalo.Un punto x f 0 , x 0de la gráfica de f se llama un punto de inflexión si f es continua y cambia deconcavidad en dicho punto.Los puntos dondepuntos de inflexiónf (x) 0 o donde la segunda derivada no está definida son candidatos aCriterio de la segunda derivada.- Sea f una función tal que f ( c) 0 y con segunda derivadadefinida en c. Si f ( c) 0 entonces f (c)es un máximo relativo de f. Si f ( c) 0 entonces f (c)es un mínimo relativo de f.