Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 37Solución: Primero se debe conseguir la función utilidad U I C2En este caso, como I pq ( 400 0.1q)q 400q 0.1q, tenemosUU12021 400q 0.1q1000 300q q2022q (400q 0.1q) (1000 300q q )2q 3 2q q 100q1000U20a) Derivamos6U q q 10020Se plantea U 0 para conseguir los puntos críticos:3 q 100 010q 1000 / 3Se tiene un único punto crítico. Se usa el criterio de la segunda derivada para clasificar elposible extremo.3U q 10Como U es siempre negativa, así lo es en el número crítico. Por tanto en q 1000/ 3 se alcanza unmáximo relativo y por existir un único extremo, éste es absoluto.b) Se sustituye en la ecuación de demanda para obtener el precio de venta máximo.p 400 0.1(1000 / 3)p 1100 / 3 367 UM.c) Se consigue el valor máximo de la función utilidad.U3 2q q 100q10002021000 3 1000 1000U 100 100 49.700/3UM16.567UM. 3 20 3 3 d) Al imponer un impuesto de 10 UM por unidad los costos totales aumentan en 10 q . La nuevafunción de costos está dada por1 2c i ( q) 1000 310q q20y la función de utilidad quedaU i3 2q q 90q100020Derivamos´ 6U i q q 9020Se plantea U 0 para conseguir los puntos críticos:i3 q 90 010q 300 .