Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 29Los problemas de la vida real no se presentan tan explícitos como el problema de arriba. En losque siguen por lo menos se plantea el problema. El lector deberá entender que una de las cuestionesque quedará en él es identificar diversos problemas de optimización que diariamente puede formular,y probablemente resolver con estas técnicas.Estos pasos deberán ser tomados en cuenta a fin de resolver problemas de máximosy mínimos1.- Leer el problema hasta comprenderlo, este atento que cantidad se pide optimizar.2.- Realice uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se relacionan los elementos quevarían. Escoja nombres a las variables de interés. Si hay varias variables involucradas, vea como serelacionan. Formule una ecuación que plantee las relaciones entre las variables. Esta ecuación se suelellamar de ligadura (porque establece la relación entre las variables), otros autores la llaman derestricción.3.-Exprese la cantidad que se quiere optimizar como función de una de las variables. Si necesitó doso más variables, despeje las demás variables en términos de una sola, usando la ecuación de ligadura(o restricción) y sustitúyala en la función a optimizar. Determine el dominio de la función resultantede acuerdo a la naturaleza del problema.4.- Determine los máximos o mínimos de la función a optimizar por algunos de los métodosaprendidos, recuerde siempre garantizar que es absoluto.5.- Responda con palabras cada pregunta del problema.Terminología.- La función a optimizar se la conoce en la literatura como la función objetivo.Ejemplo 2.- Se desea cercar un terreno donde uno de suslados colinda con un río, este lado no se piensa cercar. Sedispone de 1200 metros lineales de cerca. ¿Cómo deben serlas dimensiones del terreno a fin de maximizar el área acercar?Solución:Son muchas las posibilidades de cercar este terreno con 1200 metros de cerca, por ejemplo algunas deellas son como se muestra abajoPero se quiere conseguir la que tiene área máxima. Observe que el área está dada porA x yLa cantidad A a maximizar depende de dos variables, debemos expresarla en términos deuna sola de estas variables. Para ello se debe establecer una ecuación que de la relación entre x y ypara luego despejar una de ellas y sustituirla en A.La relación entre x y y está dada por la restricción de la cantidad de cerca a utilizar. Estarelación viene dada porx x y 1200 .2x y 1200 . Despejamos y