Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

303.5 Optimizacióny 1200 2xSe sustituye y en el área, a fin de expresar A como función de xA( x) x (1200 2x). Conviene observa que el Dom A (0,600)Esta función la podemos reescribir como2A( x) 1200x 2xDerivamos a fin de obtener los números críticosA ( x) 1200 4xBuscamos los puntos críticos1200 4x 0x 300Para clasificar este número crítico calculamos la segunda derivada: A ( x) 4. Al evaluarlaen 300 obtenemos que A ( 300) 4 0 , por tanto allí se alcanza un máximo relativo, al tener unúnico extremo relativo en el intervalo ( 0,600)entonces él debe ser absoluto.En conclusión: Las dimensiones del terreno deben ser 600 en el lado que corre paralelo al río y 300por los otros dos lados.Ejemplo 3.- Se estima que en un terreno si se plantan 200 matas de aguacates, la producción estimadaserá de 300 Kg. por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción aumentará en 3Kg. por árbol. ¿Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener lamáxima cosecha posible en el terreno? ¿Cuál es este valor máximo?Solución:La variable que puede ser usada para modelar este problema esx= Número de árboles que se dejan de plantarAsí queNúmeros de árboles a plantar= 200 x yLa producción estimada por árbol está dada porP= Producción por árbol 300 3xDe esta maneraLa producción total=( número de árboles a plantar) x ( producción por árbol)P( x) (200 x) (300 3x)Es claro que 0 x 200 . Como deseamos obtener el máximo de la producción derivamos a fin deconseguir los puntos críticos. Primero reescribimos la función:P( x) 6000 300x 3x. Se deriva2P ( x) 300 6xBuscamos los valores críticos300 6x 0Resolvemos la ecuaciónx 50 .Como estamos buscando el máximo en un intervalo cerrado y P es una función continua, evaluamos Pen 50 y en los extremos del intervalo cerrado.P ( 0) 60000P ( 50) 67500P ( 200) 0El máximo rendimiento es 67.500Kg. y se alcanza cuando se dejan de plantar 50 árboles. Esto escuando se plantan 200 50 150 árboles.