Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 25Calculemos entonces la segunda derivada y la evaluamos en estos puntos:2f (x) 12x 24x 12x(x 2) . Para x 3 tenemos que f ( 3) 12 3(3 2) 0 ( ). Por lo tanto el punto( 3, f (3)) (3, 25)es un mínimo relativo. Para x 0 tenemos que f ( 0) 12 0(0 2) 0 . El criterio no es concluyente. Se debeusar el criterio de la primera derivada para clasificar este número crítico. La primera2derivada está dada por f (x) 4x( x 3). (En general colocamos en la recta real losnúmeros críticos vecinos al valor crítico a clasificar, en este caso 3).Usamos -1 y 1 como valores de prueba en losintervalos para los intervalos ,0y 0,respectivamente.2f (1) 4( 1)(( 1) 3) 02f (1) 4 1(1 3) 0Así que tanto a la derecha (pero antes que 3) como a la izquierda de 0 la primeraderivada es negativa.En conclusión: en x=0 no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo.b)64g( x) x 6x1) Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores críticos.53 3 2g (x) 6x 6 4x 6x( x 4) .Para conseguir los puntos críticos solo planteamos f x 0 , pues es un polinomio. Esta32ecuación es 6x( x 4) 0 , la cual es equivalente a6x 3 0 ó ( x2 4) 0y sus soluciones x 0 y x 2son los únicos valores críticos.2) Clasificamos los valores críticos, se intenta primero clasificar usando el criterio de la segundaderivada.42g ( x) 6 5x 6 12xSe reescribe de manera factorizada a fin de evaluar más rápido2 2g (x) 6x(5x12). Para x 2 tenemos que f ( 2) 6 4(5 4 12) 0 ( concavidad hacia arriba). Por lo tantoen x=2 ocurre un mínimo relativo. (Este valor mínimo relativo es f ( 2) 32). Para x 2tenemos que g ( 2) 6 4(5 4 12) 0 ( ). Por lo tanto el punto( 2,g ( 2)) ( 2,32)es un punto mínimo relativo Para x 0 tenemos que g ( 0) 6 0 (0 2) 0 . El criterio de la segunda derivada no esconcluyente. Se debe usar el criterio de la primera derivada para clasificar este valor crítico.2 2La primera derivada está dada por g (x) 6x( x 4)colocamos en la recta real losnúmeros críticos vecinos al valor crítico a clasificar, en este caso -2 y 2.En el intervalo 2,0la primera derivada espositiva y en el intervalo 0 ,2la primera derivadaes negativa. En conclusión: por el criterio de laprimera derivada, 0,g(0) 0,0es un máximorelativo.