Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

203.3 ConcavidadCriterio de concavidad.- Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto I. Si f ( x) 0 para todo x en ese intervalo entonces f es cóncava hacia abajo en I Si f ( x) 0 para todo x en ese intervalo entonces f es cóncava hacia arriba en I.Para determinar los intervalos de concavidad de una función, es decir encontrar los intervalosdonde la gráfica de la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajoseguiremos los siguientes pasos.Pasos recomendados para conseguir intervalos de concavidad.Paso 1.- Determinar los x donde f ( x) 0 o f (x)no está definida (incluye los puntos donde lapropia función no está definida).Paso 2.- Colocar en la recta real los x donde f ( x) 0 o f (x)no está definida.Paso 3.- Dentro de cada intervalo limitado por estos puntos escogemos valores de prueba queevaluamos en la segunda derivada. Si la segunda derivada es positiva en el valor de prueba entonces la función es cóncavahacia arriba en ese intervalo. Si la segunda derivada es negativa en el valor de prueba entonces la función es cóncavahacia abajo en ese intervalo.Ejemplo 1.- Determine los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo de la función6 4f ( x) x 10x 4x1.Solución: Calculamos la segunda derivadaf (x) 6x5 40x4f ( x) 30x120x3 42La expresamos factorizada a fin de encontrar la solución de la ecuación queplantearemos.2 2f (x) 30x( x 4)Paso 1.- Buscamos los candidatos a cambios de inflexión. Planteamos donde la segunda derivada es 02 2f (x) 30x( x 4) 0Las soluciones son cuando x 2 0 y ( x 2 4) 0 . Así x 0,2, son los únicos puntos candidatosdonde pueden ocurrir cambios de concavidad.Paso 2.- Procedemos a colocarlos en la rectareal y a tomar valores de prueba en losintervalos delimitados por ellos paraevaluarlos en la segunda derivada.Paso 3.- En ( , 2), se toma como valor de prueba x p 3, al evaluar obtenemos f ( 3) 0 .Entonces f ( x) 0 y por consiguiente la función f es cóncava hacia arriba en ( , 2). En ( 2,0), se toma como valor de prueba x p 1, al evaluar obtenemos f ( 1) 0 .Entonces f ( x) 0 en (-2,0) y por consiguiente f es cóncava hacia abajo en ( 2,0). En ( 0,2), se toma como valor de prueba x 1, al evaluar obtenemos f ( 1) 0 . Entoncespf ( x) 0 en (0,2) y por consiguiente la función f es cóncava hacia abajo en ( 0,2). En ( 2, ) , se toma como valor de prueba x p 3 , al evaluar obtenemos f ( 3) 0 . Entoncesf ( x) 0 y por consiguiente la función f es cóncava hacia arriba en ( 2, ) .Estos resultados los representamos gráficamente en el siguiente diagrama