Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 31Comentario.- En este problema también se pudo establecer la conclusión del máximo absoluto usandoel criterio de la derivada para funciones con un único extremo relativo.Ejemplo 4.- Se cuenta con 1.500UM para construir un tanque de agua para riego que tendrá formacilíndrica. Se estima que la construcción de los laterales costará 2UM el m 2 y el de fondo 1UM.¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque de mayor capacidad que se puede construir con estosrecursos? Asuma que el tanque no tiene tapa.Solución: Es claro que se pide el tanque con máximo volumen.Distintos tipos de tanques pueden serconstruidos con 1.500UM.Las variables apropiadas son, sinduda, h, la altura, y r el radio delcilindro.Recordemos que el volumen de un cilindro está dado por área de la base por la altura. Enfórmulas esto es2V r hComo se puede observar la función que se quiere maximizar depende de dos variables.Entonces debemos buscar una relación entre r y h dada por una ecuación.La relación entre las variables estará dada por la restricción que se debe gastar 15.000UM.Formulamos verbalmente la ecuación de restricción:Ecuación de restricción: Costo total del tanque=15.000.Vamos a expresar el costo total en términos de las variables:Costo total=costo de la base+costo de los lateralesdondeCosto de la base= 1xArea de la base y Costo de los laterales= 2xArea de los laterales2Costo de la base= r y Costo de los laterales= 2 (2 r h)De esta manera2Costo total= r 4 rhSustituyendo esta expresión en la ecuación de restricción obtenemos2 r 4 rh 1.500Ésta es la ecuación de restricción o de ligadura. De ella despejamos una de las variables parasustituirla en la función a maximizar. Resulta aquí conveniente despejar h.