Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

243.4 Criterio de la Segunda derivada3.4 Criterio de la segunda derivadaOtra de las aplicaciones de la segunda derivada es para clasificar los puntos críticos donde laprimera derivada se anula. La idea es muy gráfica: si c es un punto donde f ( c) 0 y f es cóncavahacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c entonces f (c)es un máximo relativo, pero encambio si es cóncava hacia arriba entonces se alcanza un mínimo relativo en c.La relación entre concavidad y segunda derivada nos permite visualizar el siguiente criteriousado para clasificar puntos críticos.Criterio de la segunda derivada.- Sea f una función tal que f ( c) 0 y con segunda derivadadefinida en c. Si f ( c) 0 entonces f (c)es un máximo relativo de f. Si f ( c) 0 entonces f (c)es un mínimo relativo de f.Observaciones:1.- El criterio no es concluyente en el caso en que f ( c) 0 y f ( c) 0 . Se deberá entonces usar elcriterio de la primera derivada.2.- El criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en c.3.- Una de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos críticos con sólo evaluar lafunción segunda derivada en los números críticos, a diferencia del criterio de la primera derivada quese debía evaluar la primera derivada a la izquierda y derecha del punto crítico y entre los puntoscríticos vecinos.Ejemplo 1.- Hallar todos los extremos relativos de las siguientes funciones. Si es posible, use el4 36 43 4criterio de la segunda derivada: a) f ( x) x 4x 2 ; b) g( x) x 6x; c) f ( x) ( x 1).Solución:4 3a) f ( x) x 4x 2 .1) Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores críticos de f3 2f ( x) 4x 4 3xLos puntos críticos están dados en este caso por la solución de f ( x) 0 . Esto es3 24x 4 3x 0La solución se obtiene factorizando e igualando cada factor a cero.4x 2 ( x 3) 0 x 0 ó x 3 .Estos son los únicos puntos críticos.2) Clasificamos los puntos críticos, para ello se intenta primero el criterio de la segunda derivada.