CapÃtulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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263.4 Criterio de la Segunda derivadaf ( x) ( x 1)c)3 41) Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores críticos de f.4 1/ 3La primera derivada está dada por f ( x) ( x 1) , está definida en todo R.3El valor crítico lo obtenemos entonces al plantear sólo la ecuación f ( x) 0 , esta es4 1/ 3( x 1) 0 , cuya solución, x 1, es el único valor crítico .32) Se clasifica el valor críticoAl calcular la segunda derivada4 2 / 3 4f (x) ( x 1)2 / 399( x 1)nos damos cuenta que no está definida en el valor crítico -1 (Recuerde que la división entre 0no está definida). Así que no podemos usar el criterio de la segunda derivada.Para clasificar este punto crítico debemos entonces usar el criterio de la primera derivada.Al tomar valores de prueba en los intervalosde prueba podemos concluir que:Si x 1entonces f ( x) 0Si x 1entonces f ( x) 0En conclusión: La función alcanza3f ( 1) ( 1 1)4 0 .un mínimo relativo en x=-1. Este valor máximo esPara funciones continuas, vimos anteriormente un procedimiento de búsqueda de extremosabsolutos en intervalos cerrados. Ahora damos otro criterio para algunas situaciones que se presentan.CRITERIO <strong>DE</strong> LA <strong>DE</strong>RIVADA PARA EXTREMOS ABSOLUTOS.- Si en un intervalocualquiera hay un solo extremo relativo entonces él necesariamente es absoluto en ese intervalo.Comentarios.-3 41.- En el ejemplo anterior, como la función f ( x) ( x 1)tiene un único extremo relativo en x=-1 entonces podemosconcluir que el máximo absoluto de está función se alcanza allí.2.- Recuerde que tiene que haber un único extremo relativo parapoder hacer esta aseveración. Al lado mostramos la gráfica deuna función con un único máximo relativo y sin embargo no esabsoluto. La función tiene un mínimo relativo (otro extremorelativo).3.- Todo lo dicho lo podemos aplicar para mínimos.
Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 27Ejemplo 2.- Determine los extremos relativos de y x4x. Use primero el criterio de la segundaderivada, si no se puede entonces emplee el criterio de la primera derivada. Vea si puede usar elcriterio de la derivada para concluir si hay un extremo absoluto.Solución:1) Primero obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores críticos de fy 4x3 4 La derivada está definida en R.Se determinan los valores críticos planteando solo f ( x) 0 4x3 4 0La única solución de esta ecuación, x=1 es el único valor crítico de f.2) Se clasifica el valor crítico, se intenta primero clasificar usando el criterio de la segundaderivada.2y 12x2y (1) 121 12 0 ( )De aquí concluimos, por el criterio de la segunda derivada, que en x=1 se alcanza un máximorelativo. Como ( 1, f (1)) (1,3 ) es el único extremo relativo en ( , )y como f es continuaentonces él es el mínimo absoluto de la función en toda la recta real.Ejercicio de desarrollo.- Hallar todos los extremos relativos de la función f ( x) x 10x 2 . Sies posible, use el criterio de la segunda derivada.4 53EJERCICIOS 3.41) Determine los extremos relativos de las siguientes funciones. Use primero el criterio de la segundaderivada, si no se puede usar emplee el criterio de la primera. Vea si puede usar el criterio de laderivada para concluir si hay un extremo absoluto.1.1) 5 23 2y x1; 1.2) y x 8x ; 1.3) y x x 1;4 21.4) y x x ; 1.5) 3 3 23y x x 3xx 22 ; 1.6) y x 3x 2 ;3241.7) y ( x 4x 20) ; 1.8) y x3 x ; 1.9) y 5x5 4x;12 / 31.10) y x ; 1.11) y x x .xRespuestas: 1.1) Valor crítico x=0, no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo (el criterio dela segunda derivada no se puede usar); 1.2) En x=1/16 hay un máximo relativo y absoluto.1.3) En x=0 hay un máximo relativo. En x=2/3 hay un mínimo relativo. 1.4) En x=0 hay un mínimorelativo y absoluto. 1.5) Valor crítico x=1, por el criterio de la primera derivada no se alcanza ni unmáximo ni un mínimo relativo (el criterio de la segunda derivada no se puede usar); 1.6) En x=3 hayun mínimo relativo. En x=-1 hay un máximo relativo; 1.7) En x=-2 hay un mínimo relativo, absolutotambién. (Es más rápido concluir por el criterio de la primera derivada). 1.8) No hay extremos; 1.9)22En x hay un máximo relativo. En x hay un mínimo relativo;551.10) En x=-1 hay un máximo relativo. En x=1 hay un mínimo relativo; 1.11) En x=0 hay un máximo8relativo. En x= hay un mínimo relativo.27
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