Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 5911Ejemplo 2.- Para la función y ex . Determine: dominio, intervalos de crecimiento, intervalos deconcavidad; extremos relativos; puntos de inflexión; simetrías; asíntotas horizontales y verticales yaquellas intersecciones que puedan obtenerse convenientemente. Trace la gráficaSolución:1.- Hallar el dominio de la función: La función exponencial no tiene restricciones en el dominio peroel exponente es una expresión fraccionaria, los puntos donde el denominador se hace 0 no están en eldominio de la función. Planteamos entoncesx 1 0Así que el dominio son todos los reales distintos de uno:Dom f= R-{1}2.- Determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativosey 1x1x1 2La ecuación y 0 no tiene solución. Así no hay valores crítico, En la recta real agregamosx=1 para el análisis de crecimiento y decrecimiento.En conclusión, la función no tiene extremos relativos y es decreciente en todo su dominio.3.- Determinar intervalos de concavidad y puntos de inflexión.Podemos verificar queey 1x1(2x1).x1 4Tenemos que y 0 en x 1/ 2 . Este punto junto con x=1 lo colocamos en la recta real para hacer elanálisis de concavidad. Al tomar valores de prueba podemos completar el diagrama de concavidad.2El punto 1/2, e es un punto de inflexión de la gráfica.4.- Determinación de las asíntotas.Asíntota vertical: x=1 es candidato a asíntota vertical, Verifiquemos1lim ex 1x1 1lim ex 1x1 0Así la gráfica de la función se acerca a la asíntota x=1 por el lado derecho.Asíntota al infinito: Verificamos si tiene Asíntota horizontal planteando los límites:1lim ex1 1x