Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 7x 0 f (x)no existe sólo cuando el denominador es 0, esto es3 3 2 2 ( x 4) 022 / 3( x 4) 0 , Se eleva ambos miembros a la 3/2.2 3 2 3 / 2( x 4) 2 / 3 / (0)( x2 4) 0x2 4x 4x 2Se descarta el valor crítico x 2por estar fuera del intervalo [ 3,1 ] .Paso 2.-Evaluamos f en los extremos del intervalo y en los valores críticos x 2y x 0 .Paso 3.-f ( 3)f ( 3)( 3)3 23 2f ( 2) ( 2)f (0) 3 203 2 4 4 3 4 035 1.714 1.583f (1) 1 4 3 1.44.f ( 0) 3 4 es el valor mínimo de la función.3 5 es el valor máximo.Ejercicio de desarrollo.- Encuentre los extremos absolutos de42y x 2x en [1/2,3].APLICACIONESEn muchos problemas de la vida real y de economía se quiere conseguir el valor máximo omínimo de una cantidad que depende de la variable independiente la cual tiene restringido sus valoresa un intervalo cerrado.Ejemplo 5.- Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 3.000unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender q unidades mensuales está dada por2 1 3U ( q) 100.000 60.000q 985q q .3Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual.Solución: Tenemos que conseguir donde se alcanza el máximo absoluto de la función U en elintervalo 0 ,3000.Como U es una función continua por ser un polinomio y queremos conseguir el máximo enun intervalo cerrado podemos aplicar el algoritmo de búsqueda dado en esta sección.Paso 1.- Primero se calcula los valores críticos. Como la función tiene derivada en todaspartes sólo planteamos U ( q) 0 para encontrar los valores críticos.U (q) 60.000 1970q q2 0 . Las soluciones de esta ecuación cuadrática son q 30yq 2.000 , descartamos la primera por no estar en el intervalo [ 0,3.000].