Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

323.5 Optimización21.500 rh 4 rh 375 r . r 4Al sustituirla en la función a maximizar queda2 375 rV ( r) r ( ) r 43 rV ( r) 375r .4Ahora V quedó expresada como función de r . Es claro que el dominio analítico de esta funciónes R. Sin embargo el dominio dado por la naturaleza del problema es (0, ) y es aquí dondebuscaremos el máximo absoluto.Determinemos los puntos críticos de V:3 rV 375 43 r375 422 01500r 12.61m.3Tenemos que clasificar este valor crítico, se usará el criterio de la segunda derivada.1500V r V () 0, ,Es fácil de chequear que 6 r , al evaluar en el valor crítico da 3por tanto por el criterio de la segunda derivada en este valor se alcanza un máximo relativo y comohay un único extremo relativo en el intervalo (0, ) , aquí se alcanza el absoluto. Sustituyendor 12.61m.enh 375 r , obtenemos que h 6. 31m. r 4En conclusión: El tanque debe tener una alturah 6. 31my el radio debe ser r 12.61m.EJERCICIOS 3.51) El porcentaje de sobrevivencia de un cierto tipo de larvas a una temperatura constante T(gradosCelsius) al cabo de una semana es modelado por la fórmula P(T)=-1.42T 2 +68T-746 para20 T 30 . Halle las temperaturas a las cuales sobrevive el mayor y el menor porcentaje de larvas.Respuesta: en 23.94ºC sobrevive el mayor porcentaje y en 30º el menor.2) La velocidad de la sangre que está a r centímetros del eje central de una arteria de radio R es2 2S(r) c(R r ) , donde c es una constante positiva. ¿Dónde es mayor la velocidad de la sangre?Respuesta: En el eje central de la arteria.3) La reacción del cuerpo a los medicamentos con frecuencia está dada por una ecuación de la forma2 c dR(d) d ( ) donde d es la dosis y c es la dosis máxima que puede administrarse. La razón de2 3cambio de R (d)respecto a d se denomina sensibilidad. Halle el valor de d para el cuál lasensibilidad es máxima. Respuesta: En c, la dosis máxima.