Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 21En conclusión la función es cóncava hacia arriba en ( , 2) (2, )y cóncava hacia abajoen ( 2,0) (0,2).En este ejemplo hubo un cambio de concavidad en x 2y en x 2.Además en estospuntos la función es continua. Estos son puntos sobre la gráfica de la función donde se produce elcambio de una curvatura hacia arriba a una hacia abajo. Estos son puntos característicos de la gráficade una función por lo cual merece un nombre especial.Definición.- Un punto x f 0 , x 0 de la gráfica de f se llama un punto de inflexión si f escontinua y cambia de concavidad en dicho punto.En el ejemplo anterior no hay punto de inflexión en x 0 , aún cuando era un candidato paraser punto de inflexión, pues no ocurre un cambio de concavidad.Los puntos donde f (x) 0 o donde la segunda derivada no está definida son candidatosa puntos de inflexión. No necesariamente son puntos de inflexión, así como ocurrió en x 0 delejemplo anterior. En el siguiente ejemplo mostraremos una situación donde en un punto hay cambiode concavidad pero no se llamará de inflexión pues la gráfica se corta en ese punto, valga laredundancia: la gráfica no se flexiona para cambia de concavidad sino que se corta.1Ejemplo 2.- Determine los intervalos en que la función f ( x) x2 es cóncava hacia arriba y enxlos que es cóncava hacia abajo. Encontrar todos los puntos de inflexión.Solución: Calculamos la segunda derivada2f (x) 2x xf (x) 2 2x33 2( x 1)3Paso 1.- Buscamos los candidatos a cambios de inflexión:x. Puntos donde la segunda derivada se hace 0.32( x 1) 03xUna fracción es cero sólo si su numerador es cero. Así la segunda derivada es cero si2(x3 1) 0Esta última manera de expresar la segunda derivada nos permitiráconseguir los puntos donde ella es 0.3x 1Así, en este caso el punto donde la segunda derivada se hace cero es x 1.Puntos donde la segunda derivada no existe.En este caso es donde el denominador se hace 0, esto es x 3 0 , es decir x 0 .Paso 2.- En x=0 la función no está definida, así que lo representaremos en la recta real con uncírculo agujereado, como ya se ha hecho anteriormente.Colocamos también x 1en la recta real.