Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 473.8 Gráficas de funciones racionalesLas funciones racionales son de la forma:p(x)f ( x) ,q(x)donde p (x)y q (x)son funciones polinómicas. Recuerde que el dominio de este tipo de función esDom f xtales que q(x) 0.Es decir son todos los x donde el denominador no se anula. Recordamos que los c donde eldenominador se anula definen los candidatos x=c a ser asíntotas verticales.Para graficarlas se suele seguir los siguientes pasos:1.- Calcular el dominio de la función.2.- Hallar la primera derivada para luego calcular puntos críticos, intervalos de crecimiento ydecrecimiento, extremos relativos. Se recomienda llevar esta información a la recta real colocadaencima del plano cartesiano donde se realizará la gráfica y alineada con el eje x de este plano.3.- Calcular la segunda derivada para luego determinar intervalos de concavidad y puntos deinflexión. Se recomienda llevar esta información a otra recta real cuadrada con la recta real delcrecimiento y con el eje x del plano donde se realizará la gráfica.4.- Determinar las asíntotas verticales. Determinar las asíntotas en infinito: horizontales y oblicuas.Dibujar las asíntotas con un trazo punteado en el plano donde se bosquejará la gráfica de la función.5.- Calcular algunos puntos de interés de la gráfica, llevándolos a una tabla de valores. Esto son lospuntos críticos, puntos de inflexión, intersección con el eje y e intersecciones con el eje x si resultafácil de calcular. (Recuerde, por ejemplo, que el valor crítico, x 0 , debe ser evaluado en la propiafunción para obtener el punto crítico x 0 , f x 0el cual es un punto de la gráfica de f). Graficar estospuntos, (se recomienda trazar tenuemente las flechas de crecimiento y decrecimiento antes y despuésde estos puntos característico). Puede ser de gran ayuda dibujar un trozo de gráfica en la zona donde lagráfica se acerca a la asíntota y luego unir los puntos característicos junto con los pequeños trazos dela gráfica de acuerdo a la información aportada por los puntos anteriores.Insistimos en recomendar que los puntos de la gráfica obtenidos por los numerales 2 y 3 secoloquen en rectas reales alineadas con el eje x del plano sobre el que vamos hacer la gráfica, para unmejor manejo de la información conseguida. Recuerde que la gráfica se aproxima a las asíntotashorizontales u oblicuas cuando x toma valores muy grandes. La gráfica se acerca a las asíntotasverticales para valores grandes (positivos o negativos según corresponda) de y.2Ejemplo 1.- Para la función y Determine: dominio intervalos de crecimiento, intervalos de21 xconcavidad; extremos relativos; puntos de inflexión; asíntotas horizontales y verticales y aquellasintersecciones que puedan obtenerse convenientemente. Bosqueje la gráfica de la función.Solución:1.- Calcular el dominio de la función.El dominio de está función son todos los reales excepto los puntos donde el denominador se hace 0.Estos puntos son:Así1 x2 x 1.0Dom R 1 , 1f .