comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

Analogie entre le calcul différentiel et le calcul algébrique
1 ère partie
Jean-Pierre Lubet
Anne-Marie Marmier
Université Lille 1
En 1684, Leibniz rend publiques les principales règles de son calcul, avec la notation dy
pour la différentielle. Quant aux différentielles successives, elles sont d’abord notées par la
répétition de la lettre d : ddy, dddy... C’est seulement en 1695 qu’il introduit la notation
exponentielle d m y. Simultanément, il utilise les exposants négatifs pour marquer des intégrations
d −1 = 1 , d −2 = 2. Puis, en mai 1695, il fait le lien entre ces nouvelles notations et
l’analogie entre le développement du binôme et le développement de la différentielle d’un
produit, par exemple :
(1) 3 x + y = 1x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + 1y 3
(2) d 3 ,xy = 1yd 3 x + 3dyd 2 x + 3dxd 3 y + 1xd 3 y
Cette découverte l’émerveille, mais elle provoque aussi en lui une certaine perplexité (il y
a bien des mystères cachés là-dessous [MS I, p. 30]). Il revient sur cette question dans un
mémoire de 1710 [Parmentier, p. 409-421]. Il note alors les puissances sous la forme p n x
(pour x n ), soulignant encore mieux l’analogie avec les différentielles ; et il utilise des considérations
de combinatoire pour justifier avec soin l’apparition de coefficients numériques
identiques dans les relations telles que (1) et (2).
Le thème réapparaît, en 1774, avec un mémoire de Lagrange. Manipulant les fonctions à
partir de leur développement en série entière, Lagrange démontre la formule de Taylor. Il note
que les coefficients utilisés sont les mêmes que ceux qui apparaissent dans le développement
de la fonction exponentielle, il décide d’écrire la formule sous la forme :
u(x + ξ,y + ψ,z + ζ...) − u(x,y,z...) = Δu = e du
dx
du du ξ+ dy +ψ dz ζ+... − 1,
avec la consigne suivante : après avoir développé [la formule] suivant les puissances de du,
on applique les exposants de ces puissances à la caractéristique d pour indiquer des différences
du même ordre que les puissances, c’est-à-dire qu’on change du λ en d λ u...[Œuvres
III, p. 450]. Il faudra suivre la même règle pour interpréter les formules générales que Lagrange
écrit :
Δ λ u = (e du
dx
du du ξ+ dy +ψ dz ζ+... − 1) λ , ∑ λ u =
(e du
dx
1
du du ξ+ dy +ψ dz ζ+... − 1) λ
,
du
dx = log(1 + Δξu) ,
ξ
La méthode ordonne, unifie et généralise un ensemble d’identités qui se présentaient jusque
là de façon dispersée. Cependant, le statut du procédé reste marqué par des ambiguïtés, pour
Lagrange lui-même l’opération [...] n’est pas fondée sur des principes clairs et rigoureux,
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