comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

thématiques particulières. Elles sont même assez rarement mentionnées, mais on peut néanmoins
raisonnablement penser que ces similitudes sont communément connues à l’époque.
Le fait de dégager ces ressemblances opératoires qui laissent penser à une certaine unité de
structure des entiers rationnels d’un côté et des polynômes de l’autre relève bien de l’analogie,
mais d’une analogie "passive" pourrait-on dire.
L’article de Dedekind et Weber Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen
de 1882 marque en ce sens un tournant puisque l’analogie y est un moyen d’investigation
effectif de la théorie des fonctions algébriques.
Dedekind et Weber annoncent dès l’introduction :
Pour le cas général [des fonctions algébriques d’une variable], qui se comporte vis-à-vis
(...) du cas [de la théorie des fonctions rationnelles d’une variable], comme le cas des
nombres algébriques définis de façon la plus générale, vis-à-vis du cas des nombres rationnels,
les méthodes, appliquées avec le plus grand succès dans la théorie des nombres,
qui se rattachent à la création de Kummer des nombres idéaux, et qui sont susceptibles
d’un transfert à la théorie des fonctions, montrent la voie. 39
Le mot d’analogie n’est pas encore dit mais la figure de l’analogie de proportions est clairement
présente. Ils construisent une théorie des fonctions algébriques qui soit à la théorie
des fonctions rationnelles comme la théorie des nombres algébriques l’est à la théorie des
nombres rationnels.
théorie des nombres algébriques
théorie des nombres rationnels
= théorie des fonctions algébriques
théorie des fonctions rationnelles
Par ailleurs, les deux mathématiciens nous donnent le mode de fonctionnement de l’analogie
: un transfert, qui s’avérera massif, de notions et de méthodes du domaine numérique au
domaine fonctionnel.
Pour comprendre le rapport entre théorie des fonctions algébriques et théorie des fonctions
rationnelles, il faut donc se tourner vers la généralisation des théorie des nombres algébriques
à partir des nombres rationnels.
L’origine des idéaux La notion d’idéal a été crée par Dedekind en 1871 dans sa théorie
des nombres algébriques publiée comme dixième supplément des Vorlesungen de Dirichlet.
Ses recherches s’inscrivent dans le prolongement de celles de Kummer sur un certain
type d’entiers algériques : les entiers cyclotomiques a0 + a1ζ + a2ζ 2 + ··· + an−1ζ n−1 où les
ai sont des entiers relatifs et ζ une racine primitive n e de l’unité 40 . Dirichlet avait mis en
évidence une rupture d’analogie avec l’arithmétique de Z que Dedekind commente ainsi :
Ce résultat [la décomposition d’un entier en un nombre fini d’éléments premiers] correspond
encore totalement à la loi qui a lieu dans la théorie des nombres entiers rationnels
ou complexes, savoir que tout nombre composé peut être représenté par le produit fini
39Dedekind R. u. Weber H., "Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen", Journ. de Crelle,
1882, vol. 92, pp. 181-182.
40Kummer est motivé par la démonstration du théorème de Fermat, c’est-à-dire de l’impossibilité de l’équation
xn + yn = zn pour n supérieur à 2. Une piste était de factoriser xn + yn sous la forme (x + y)(x + ζy)...(x +
ζn−1y) 65