comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

de facteurs premiers ; mais en même temps c’est ici le point où l’analogie, observée
jusqu’ici, avec l’ancienne théorie menace de se rompre pour toujours. 41
Pour retrouver l’unicité de cette décomposition, et par là prolonger l’analogie entre les
nombres entiers rationnels et les entiers cyclotomiques, Kummer propose d’introduire des
facteurs idéaux. Ces facteurs idéaux sont en fait des nombres complexes qui n’appartiennent
pas à l’ensemble des entiers cyclotomiques étudiés, mais dont l’utilisation permet de récupérer
l’unicité de la décomposition en éléments irréductibles. Ainsi Kummer réussit à conserver
l’analogie avec les entiers rationnels, mais au prix d’une sortie de l’ensemble de départ. Par
ailleurs, Kummer ne donne pas de définition commune des facteurs idéaux.
Dedekind va plus loin dans l’analyse du problème et règle la question de l’existence des
nombres idéaux. Dedekind considère à la place des facteurs idéaux premiers tous les éléments
du domaine numérique de départ divisibles par ce facteur idéal. Sur le même principe,
il "remplace" un élément du domaine numérique par l’ensemble de ces facteurs. Après avoir
explicité le calcul sur ces nouveaux objets mathématiques, Dedekind développe une arithmétique
sur ces systèmes de nombres semblable à celle de Z. En hommage aux facteurs idéaux
de Kummer, Dedekind appelle ces systèmes des « idéaux ». Il montre en particulier que tout
idéal premier se décompose de façon unique en produits d’idéaux premiers.
L’élaboration de la notion d’idéal et d’une théorie générale des nombres algébrique a
donc été guidée par l’analogie avec la théorie des nombres entiers rationnels, cette analogie
étant pensée par Kummer, puis par Dedekind comme une unité des lois de divisibilité dans le
domaine des nombres algébriques et celui des nombres rationnels. Dedekind parle également
de correspondance, de conservation, de parfaite conformité des lois. Il s’agit donc d’une
analogie qui met en correspondance la "structure" de la divisibilité des différents types de
nombres lorsque cette correspondance existe (dans les anneaux factoriels) et qui, lorsque
cette correspondance fait défaut, devient heuristique en donnant les jalons 42 d’une nouvelle
théorie qui ferait apparaître une telle correspondance.
Une analogie d’analogie Ainsi le rapport de l’analogie de proportion
théorie des nombres algébriques théorie des fonctions algébriques
=
théorie des nombres rationnels théorie des fonctions rationnelles
est certes une généralisation mais aussi une analogie. Et lorsque Dedekind et Weber se proposent
de généraliser la théorie des fonctions rationnelles en une théorie des fonctions algébriques
par analogie avec la théorie des nombres algébriques, ils font une analogie d’analogie.
Cette analogie multiple se révèle particulièrement complète au sens où non seulement les
définitions, les théorèmes ont leurs analogues mais pratiquement tous les résultats intermédiaires.
C’est une analogie que l’on peut suivre pas à pas en changeant le mot nombre par
celui de fonction !
41 Dedekind R., "Sur la Théorie des Nombres entiers algébriques", Paris, Gauthier-Villars, 1877 in Über der
Theorie der ganzen algebraischen Zahlen„ Braunschweig, Frier. Vieweg & Sohn, 1964, p. 263. (à repréciser
cf. livre)
42 L’analogie n’impose pas un chemin, elle est simplement un canevas. Kummer et Dedekind propose deux
"tissage" différents pour répondre au défaut de factorialité de certains anneaux) et Kronecker en proposera un
autre en 1882 dans ses Grundzüge.
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