comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

géométrique qui se différencie des simples images par son caractère opératoire : par le biais
du terme de point, la surface de Riemann illustre et aide à formaliser par ses problématiques
géométriques les problématiques algébriques. Elle permet de saisir d’un coup la démarche
algébrique de Dedekind et Weber.
On voit alors réapparaître l’analogie, sous une nouvelle forme, dans le transfert de vocabulaire.
Il ne s’agit certes pas d’une analogie entre les théories algébrique et géométrique des
fonctions algébriques, qui traitent simplement le même sujet avec deux approches différentes
comme l’on peut avoir plusieurs démonstrations pour un même théorème. Mais il y a une
analogie entre le point de vue géométrique de Riemann et le point de vue algébrique de Dedekind
et Weber. Le mot point et la notion qu’il recouvre est donc le carrefour des influences,
des intuitions arithmétiques et géométriques qui viennent s’y mêler et se féconder.
La non revendication de cet usage analogique du mot point révèle peut-être un attachement
à l’intuition plus fort que Dedekind et Weber ne le laissent entendre ou même qu’ils ne
le voudraient. Accepter l’analogie permet certes de s’ouvrir à un nouveau champ d’intuition
mais c’est également prendre le risque de s’y laisser enfermer.
Conclusion
L’un des effets de l’analogie est de brouiller les frontières des disciplines. Mais le rapprochement
voire la (con)fusion des disciplines crée un cadre commun arithmético-géométrique
qui est plus que la somme de l’arithmétique et de la géométrie. Il y a enrichissement en même
temps que fusion.
Si l’analogie disparaît dans le passage, totalement explicité par la notion d’idéal, du domaine
rationnel au domaine algébrique, l’analogie entre le domaine numérique et le domaine
fonctionnel reste, elle, ouverte. Dedekind et Weber ont développé cette analogie mais n’en
donnent pas la clé.
Elle continuera d’être exploitée par Hensel à partir de 1897, dans l’autre sens : le développement
en série au voisinage d’un point des fonctions algébriques inspirera ce mathématicien
pour créer les nombres p-adiques. Ces nombres p-adiques favoriseront par la suite l’étude
d’une théorie intermédiaire entre théorie des nombres algébriques et théorie des fonctions
algébriques : la théorie des fonctions algébriques d’une variable sur un corps fini. L’analogie
entre nombres algébriques et fonctions algébriques sera remplacée par deux analogies
plus "fortes" qui, selon André Weil, feront de cette théorie des fonctions algébriques d’une
variable sur un corps fini une «plaque tournante» orientant les recherches vers la géométrie
algébrique ou vers la théorie des nombres.
Quelques références :
Blanckaert C., "Variations sur le darwinisme. Epistémologie et transfert lexical", in Transfert
de vocabulaire dans les sciences, sous la direction de Louis P. et Roger J., éditions du CNRS,
Paris, 1988.
Boniface J., Hilbert et la notion d’existence en mathématique, Vrin, Paris, 2004, p. 77-101.
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