comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

fonctions de première espèce etc. Pour une fonction d’une espèce n donnée, l’autre entier de
repérage est le nombre minimum de " monômes " de cette espèce (expressions de la forme
expu ou logu dans laquelle u est d’espèce (n-1)) entrant dans son expression. La fonction
mise sous cette forme jouit alors de propriétés semblables à celle des polynômes irréductibles
et c’est ce qui est utilisé pour montrer la faisabilité et la cohérence d’une telle construction ;
au fil des démonstrations et des calculs se mettent en place des notions qui dans un cours
algébrique moderne prendraient le nom d’extension transcendante, d’indépendance linéaire
ou d’indépendance algébrique sur un corps, d’extension élémentaire, etc.
Armé de cette classification, Liouville démontre dans d’autres mémoires, la condition
pour qu’une fonction ait une intégrale finie explicite, ou plus tard pour que certaines équations
différentielles du second ordre, puis l’équation de Riccati aient une solution exprimable
en termes finis. Cette échelle de complexité est infinie mais elle n’englobe pas toutes les
transcendantes et les transcendantes elliptiques fonctions de leur module y échappent !
Les travaux de Liouville sur l’intégration en termes finis occupent la période 1833 - 1841.
C’est en 1846 qu’il fait paraître dans le journal qu’il dirige les œuvres mathématiques d’E.
Galois ; il en a perçu l’importance, mais cela ne l’a pas amené à revenir avec ce nouveau point
de vue sur ce qu’il avait produit quelques années auparavant. A travers Liouville s’opère la
construction pied à pied d’une analogie entre le domaine algébrique des nombres et des polynômes
ou l’inversion des puissances conduit aux fractions rationnelles et aux radicaux et
celui des fonctions transcendantes ordonné par les exponentielles et les logarithmes, soumis
au calcul différentiel et intégral, cette analogie se lit dans les objectifs affichés, la structure de
la construction et les méthodes de calcul. Mais son objet reste toujours de saisir de manière
la plus effective possible la solution des équations, et il cherche une grande théorie à l’image
de l’algèbre qui engloberait les opérations de l’analyse sur les fonctions : « Cette théorie a
pour objet de découvrir, dans chaque question, toutes les solutions qui peuvent s’écrire à
l’aide d’un nombre limité de signes analytiques donnés d’avance, ou à prouver qu’il n’existe
pas de telles solutions. Seule elle peut conduire à une classification vraiment philosophique
des transcendantes.»
BIBLIOGRAPHIE I
ABEL Niels Henrik
[1826] Démonstration de l’impossibilité de la résolution algébrique des équations générales
qui passent le quatrième degré, Journal für die reine und augewandte
mathematik (journal de Crelle)- Œuvres complètes Tome I.
ALEMBERT J. Le Rond d’
[1766] Extraits de différentes lettres de M. d’Alembert à M. de la Grange écrites pendant
les années 1764 et 1765, Miscellanea Taurinensia, Mélanges de philosophie
et de mathématiques de la Société royale de Turin, (pour 1762-1765), tome
III, 1766.
ARBOGAST L. F. A.
[1800] Du calcul des dérivations, Strasbourg, 1800.
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