comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

on peut abaisser le degré d’autant d’unités que l’on connaît de racines [Libri, 1839]. La démonstration
de ce théorème figurait dans une lettre de d’Alembert de 1766. Mais, avant Libri,
personne n’avait souligné l’analogie qu’il faisait apparaître. Il est pourtant assez simple de
constater qu’elle est étroitement liée à la méthode de variation de la constante, par ailleurs
très utilisée par Lagrange. Elle est aussi très visible si l’on utilise une « formule de Taylor
» des opérateurs linéaires, parallèlement à celle des polynômes. En 1808, Brisson a mis en
évidence une telle formule, mais il ne l’a pas utilisée dans ce but. L’idée sera reprise par
Brassine en 1864.
Fondée sur les idées de Leibniz, l’analogie entre calcul algébrique et calcul différentiel
et intégral va au cours du XIX e . siècle se développer en suivant deux branches : d’un côté,
le calcul sur les expressions formelles aboutissant au calcul sur les opérateurs, esquissé cidessus,
de l’autre, l’approfondissement et l’explicitation (via la théorie de Galois) de l’analogie
entre équation algébrique et équation différentielle linéaire citée par Libri. J.Liouville,
dans la première moitié du XIX e siècle est à la charnière.
Après Cauchy la méfiance est forte vis-à-vis des résultats dépendant de la convergence
des séries infinies et l’époque est à l’algébrisation de l’analyse ; l’objectif vis-à-vis des équations
reste leur résolution. Liouville développe pour le calcul intégral et la résolution des
équations différentielles un processus d’algébrisation qui est un travail sur des expressions
formelles explicites ou implicites, mais qui cherche à percer le mystère de la relation entre
la forme de l’expression soumise au calcul ou celle de l’équation différentielle et la forme
possible de la solution.
Il s’appuie sur une analyse du fonctionnement du calcul intégral en lui-même, tel qu’il a
pu être exploré par Euler (Institutiones calculi integralis, 1768) et systématisé par Condorcet
(Du calcul intégral, 1765 et Recherches de calcul intégral, 1772). Leibniz et Bernoulli avait
ouvert la voie à une intégration systématique des fractions rationnelles en utilisant la décomposition
en éléments simples, mais le calcul intégral restait un art et beaucoup d’intégrales ne
se laissaient pas réduire à des intégrales plus simples ; Condorcet en cherchant à établir une
théorie algébrique de l’intégration, amorce le traitement de la question de savoir comment la
forme de l’intégrale est liée à la forme de la fonction et notamment pour quelles fonctions
algébriques l’intégrale est-elle algébrique.
Une autre source fondamentale est le travail d’Abel. Le mémoire d’Abel paru au journal
de Crelle en 1826 « Démonstration de l’impossibilité de la résolution algébrique des équations
générales qui passent le quatrième degré » répond au problème d’écrire les racines
d’une équation algébrique comme fonction algébrique de ses coefficients, c’est-à-dire pour
Abel, comme une expression des coefficients dans laquelle n’entrent que les opérations de
l’arithmétique et l’extraction de radicaux d’indices premiers. Ce résultat a eu un double apport.
Il modifie le point de vue sur les équations, il s’agira d’abord de savoir si l’obtention
de solutions d’un type donné est possible, ensuite, en cas de réponse positive il faudra les
produire. Sur le plan technique, la démonstration se déroule par identification après avoir
exhiber la forme la plus générale d’une fonction algébrique des coefficients et cela amène
Abel à construire une classification de la valeur de ces formes par rapport à la complexité de
leur écriture la plus simple ; un couple de deux entiers représente ainsi une classe, ouvrant la
voie à des récurrences descendantes, comme pour le degré d’un polynôme.
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