comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

d’une interprétation alternative du mot point, à la portée conceptuelle plus profonde que la
métaphore et sur laquelle s’appuient Dedekind et Weber pour construire leur propre "surface
algébrique" : en étudiant les points du corps de fonctions algébriques par rapport à une fonction,
ils dégagent une structure de l’ensemble des points. Or cette structure prend corps grâce
à l’importation par le biais du terme de point des problématiques géométriques de la surface
de Riemann.
Il y a, en effet, des références implicites à cette surface. L’organisation des points selon
une fonction repose sur la notion d’ordre qui est relative à cette fonction. Regardons attentivement
la terminologie de cette notion :
w − c est infiniment petit d’ordre r en P
w − c est 0r en P : w a la valeur c r fois en P
w − c est 0 en Pr ⏐
: w a la valeur c0 en r points coïncidant avec P
Le glissement de terminologie reflète un dédoublement virtuel de points : il s’agit en fait
d’une pondération des points plus qu’un dédoublement effectif de points. Dedekind et Weber
ne parlent d’ailleurs jamais de dédoublement mais de points coïncidants, confondus. Mais ils
donnent ainsi l’image d’un dédoublement pour expliquer la pondération des points : un point
où une fonction est d’ordre r est comme r points coïncidants où la fonction serait d’ordre 1.
Subrepticement, par les mots, Dedekind et Weber font passer la multiplicité de l’ordre, c’està-dire
de la fonction, au point. Ce faisant, ils importent et calquent sur leur raisonnement
algébrique, une problématique de la théorie riemannienne : faire passer la multiplicité de la
fonction à son support.
Ce dédoublement permet de saisir intuitivement la notion de point de ramification, sorte
de point "éclaté puis effondré" : le dédoublement est comme une parenthèse où le point se
démultiplie avant de s’effondrer sur lui-même, retrouvant son unité, mais devenu plus "lourd"
par rapport à la fonction choisie.
Le transfert des problématiques géométriques dans le champ algébrique, qui ne peut se
faire qu’au travers du mot point et de son potentiel géométrique, fait apparaître en filigrane
la structure d’une surface de Riemann. La notion de point de ramification aboutit à une
organisation des points du corps de fonctions algébriques que l’on peut représenter ainsi
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Dedekind et Weber sont donc parvenus à un ensemble de points structuré en étages dont
certains se rejoignent aux points de ramification (points noirs ci-dessus). On voit alors apparaître
une structure discrète de feuillets avec ramification.
S’il ne faut pas visualiser le point algébrique de Dedekind et Weber par un point quelconque
mais par le point de la surface de Riemann, il ne s’agit pas non plus d’importer de la
théorie riemanienne de simples images géométriques. Le mot « point » véhicule une intuition
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