comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

Liouville transporte au domaine de l’intégration les méthodes d’Abel : il étalonne de façon
similaire le champ des fonctions transcendantes pour repérer les formes des solutions
des équations différentielles, les fonctions y sont des objets sans valeurs numériques, définis
par des signes ayant certaines propriétés, parmi lesquels est incluse la dérivation.
Pour préciser ce propos, il suffit de suivre la démarche de Liouville à travers deux mémoires
« Sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique » et un mémoire
« Sur la classification des transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines de
certaines équations en fonction finie explicite des coefficients ».
L’objet des deux premiers mémoires cités est clair : « Etant donnée une fonction algébrique
quelconque f (x), on pourra toujours décider si elle a ou n’a pas pour intégrale
une fonction algébrique, et si la question est résolue affirmativement, le même procédé fera
connaître la valeur de f (x)dx ». Ils posent une sorte de base à l’édifice qui va suivre en clarifiant
ce que sont les fonctions algébriques, explicites d’abord puis implicites : aux nombres
rationnels dans le cas numérique sont substituées les fractions rationnelles de la variable x
dans le cas des fonctions, la possibilité de transformation des formules est plus grande car
l’opération de dérivation, qui reproduit les radicaux peut servir à explorer la complexité des
formules et être outil d’élimination.
Au résultat d’Abel : « Si une équation est résoluble algébriquement, on peut toujours
donner à la racine une forme telle que toutes les fonctions algébriques dont elle est composée
puissent s’exprimer par des fonctions rationnelles des racines de l’équation proposée. » fait
pendant le résultat de Liouville : « La valeur de ydx quand elle est algébrique se trouve
égale à une fonction rationnelle de x et y ». Dans ce cas, Liouville en donne effectivement la
forme polynomiale en y.
Les méthodes du domaine algébrique des nombres sont transposées : polynôme minimal,
utilisation des racines conjuguées, réduction de l’expression possible des solutions qui amène
à penser le calcul par étapes, et où à chaque étape le domaine des coefficients sur lequel on
travaille diminue. Un corollaire apparaît : les intégrales elliptiques, dont le calcul jusqu’ici
résiste, ne sont pas algébriques.
Mais l’intégration de fonctions aussi simples que les fractions rationnelles peut introduire
des logarithmes et force est de sortir du champ algébrique. Liouville introduit un point de
vue constructif sur les transcendantes à l’image de l’édifice des fonctions algébriques à partir
des fractions rationnelles et fondé sur la connaissance formelle des fonctions algébriques
qu’il a contribué à solidifier. On y retrouve deux modes de définition, l’explicite à partir
d’opérations qui peuvent être alors d’un type transcendant bien défini et l’implicite : « est
fonction finie explicite de x lorsqu’on peut écrire l’expression en indiquant explicitement sur
la variable x un nombre limité d’opérations algébriques, exponentielles et logarithmiques
» et « une fonction finie est implicite, lorsqu’elle dépend d’équations finies, non résolubles
explicitement » (par exemple y racine de logy = xy est fonction finie implicite de x).
L’étalonnage est encore une fois nécessaire pour repérer si une transcendante fait partie
ou non de cette collection, il est transposé de celui d’Abel . L’époque est aux classifications
et le mot " espèce "emprunté aux sciences naturelles, désigne l’un des deux entiers mesurant
la complexité d’une expression une fois réduite : une fonction finie transcendante est de
première espèce si les signes relatifs aux opératoires transcendantes dont elle dépend, portent
sur de simples fonctions algébriques, elle est de deuxième espèce si ces signes portent sur des
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