comptes-rendus des séances - Savoirs Textes Langage - Lille 3

[...] il serait très difficile d’en donner une démonstration directe et analytique ; cela tient,
en général, à l’analogie qu’il y a entre les puissances positives et les différences, aussi bien
qu’entre les puissances négatives et les intégration... [p. 451-452].
Plusieurs mathématiciens (notamment, Laplace) vont tenter de fournir une justification
plus complète, à une démarche qui semble relever d’abord d’une induction. Parmi eux, Arbogast
se débarrasse de la condition du changement des (∂.u) r en ∂ r .u (∂ est le symbole de
la dérivation) et il introduit une nouvelle formulation du théorème de Taylor :
(1+Δ)×u = (1+ξ∂.+ 1
1.2 ξ2 ∂ 2 .+ 1
1.2.3 ξ3 ∂ 3 .+etc.)×u ou encore (1+Δ)×u = e ξ∂. ×u
Les caractéristiques du calcul différentiel sont désormais l’objet d’un calcul direct, analogue
à celui qui concerne les quantités du calcul algébrique. Les travaux d’Arbogast, comme ceux
de ses amis Servois ou J-F Français, trouveront un écho favorable au sein de l’école algébrique
anglaise. En France, Cauchy s’opposera à ce point de vue formel, et il n’admettra un
calcul sur les opérateurs que dans les cas où il est dûment justifié par des égalités numériques.
(ces dernières étant d’ailleurs obtenues, le plus souvent, au moyen d’intégrales : intégrales
de Fourier, intégrale de Cauchy...).
Après la diffusion de l’algorithme de Leibniz, les progrès restent lents en matière de
calcul intégral. À ceux qui s’impatientent devant l’absence de méthodes générales pour résoudre
les équations différentielles, Leibniz répond en invoquant le précédent des équations
algébriques : on ne dispose de formules générales que pour les degrés inférieurs à 5. Dans le
mémoire de 1710 déjà cité, l’analogie se fait plus précise : il arrive que les solutions algébriques
d’une équation différentielle soient données par des formules transcendantes 35 ; de
même, pour une équation algébrique, une formulation irrationnelle cache parfois une solution
rationnelle 36 . Et la terminologie de Leibniz contient des éléments qui se correspondent
dans leur champ respectif :
calcul la puissance de n’importe l’extraction d’une les grandeurs les grandeurs
algébrique quelle quantité racine à partir rationnelles sourdes
d’une puissance
calcul la différence, c’est à dire la sommation les grandeurs les grandeurs
différentiel l’Élément, de toute quantité d’un terme à partir algébriques transcendantes
et intégral variant selon de sa différence
une loi déterminée
Il faut attendre les années 1830 pour retrouver l’évocation d’une analogie entre les deux types
d’équations, elle est le fait de Libri ; du côté des équations différentielles, seules les équations
linéaires sont concernées 37 . Pour une telle équation, supposée d’ordre m, Libri note que la
connaissance de p solutions permet de ramener sa résolution complète à une équation d’ordre
m − p. Et il ajoute : Le principal mérite de ce théorème consiste dans l’analogie qu’il établit
entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques ordinaires dont
35 On peut penser par exemple à l’équation y ′ − y = x : la solution générale écrite y = e x xe −x dx, transcendante,
englobe une solution particulière algébrique y = (−x − 1).
36 On peut penser à l’équation y 3 + 3y + 4 = 0, la solution x = −1 est donnée par la formule de Cardan sous
la forme x = 3 −2 + √ −5 + 3 −2 − √ −5.
37 Leurs coefficients ne sont pas nécessairement constants.
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