ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

из n элементов по m обозначается символом и вычисляется по формуле
A m n = n( n − 1)( n − 2) K ( n − m + 1)
= , причем 1 ! = 1,
0!
= 1.
( n − m)!
• Комбинации, содержащие m элементов, составленные из n различных
n!
элементов ( m < n)
и различающиеся друг от друга хотя бы одним элементом,
называются сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по m
m
обозначается символом C n и вычисляется по формуле
n( n 1)( n 2) ( n m 1)
n!
C m − − K − +
n =
= . Для сочетаний справедливы
m! m!( n − m)!
m
n−m
n
0 n
n n =
m
A n
следующие равенства: C n = C , C = C 1, C 1 n = n.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 2
Задача 1. В коробке находится 6 одинаковых по форме и близких по диаметру
сверл. Случайным образом одно за другим сверла извлекают из
коробки. Какова вероятность того, что сверла извлекутся в порядке
возрастания их диаметра
СЭ состоит в том, что все сверла извлекают из коробки в некотором порядке.
Число возможных вариантов такого извлечения можно посчитать по формуле числа
перестановок из 6 элементов: n = P6 = 6! = 1⋅
2 ⋅3⋅4
⋅5
⋅6
= 720 . Благоприятный исход
будет такой, при котором все сверла извлекутся в порядке возрастания их диаметра,
n 1
т.е. n . ( A)
A A = 1 P = = .
n 720
Задача 2. 8 студентов случайным образом рассаживаются на 8 первых местах
ряда партера. Какова вероятность, что студенты М и Н будут сидеть
рядом
СЭ состоит в том, что каждый студент выбирает себе место, на которое он
сядет, т.е. 8 мест ряда записываются в некоторой произвольной последовательности.
Количество таких записей можно сосчитать по формуле n = P8 = 8!
= 40320. Чтобы
посчитать число благоприятных исходов, представим, что студенты М и Н взялись
за руки, и, выбирая место, садятся рядом, представляя собой одно целое. При этом
выбор осуществляется из 7 мест (два соседних места занятых М и Н считаем за одно).
Число возможных вариантов P 7 = 7! = 5040 . Т.к. в паре МН студенты могут поменяться
местами (НМ), число вариантов необходимо удвоить. n A = 2 ⋅7! = 10080 .
nA 2 ⋅7!
1
P ( A)
= = = .
n 8!
4
Задача 3. В ящике лежат 9 кубиков с номерами от 1 до 9. Последовательно
извлекают три кубика. Найти вероятность того, что появятся кубики
с номерами 2, 5 и 9 в произвольном порядке.
СЭ — извлекают 3 кубика из 9, фиксируя их номера. Получаются наборы из
3 цифр, в которых важен не только состав, но и порядок расположения. Количество
10