ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2 ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вспомним некоторые определения.
• Суммой событий A и B называется событие A + B состоящее в наступле-
A + B = ω ∈Ωω
∈ A или ω ∈ B .
нии хотя бы одного из данных событий { }
• Произведением событий A и B называется событие AB , состоящее в со-
AB = ω ∈Ωω
∈ A и ω ∈ B .
вместном появлении этих событий { }
• Противоположным событию A называется событие A , которое происходит
тогда и только тогда, когда не происходит событие A,
A = ω ∈Ωω
∉ A .
{ }
• Два события называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление другого в одном и том же опыте.
• Два события называются независимыми, если появление одного из них не
меняет вероятности появления другого.
Теперь можно сформулировать основные теоремы, которыми мы будем пользоваться
при решении задач.
ТЕОРЕМА 1 P ( AB) = P( A) P( B A)
. Если события независимые, то
P ( AB) = P( A) P( B)
.
ТЕОРЕМА 2 P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB)
. Если события несовместные, то
P ( A + B) = P( A) + P( B)
.
ТЕОРЕМА 3 P A + P A = .
( ) ( ) 1
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 3
Задача 1. Пусть A, B , C — три произвольных события. Выразить через A,
B , C и противоположные к ним следующие события:
а) не произошло ни одного события;
б) произошло только событие B ;
в) произошло только одно событие;
г) произошло ровно два события;
д) произошли все три события;
е) произошло хотя бы одно событие;
ж) произошло менее двух;
з) произошло не более двух.
а) Поскольку не произошло ни одного события, значит не произошло ни событие
A, ни событие B , ни событие C . Поэтому произошли противоположные события
A , B , C , причем одновременно — ABC
.
б) Произошло только событие B — это значит, что события A и C не произошли.
Поэтому имеем A BC .
в) По аналогии с предыдущим: произошло только событие A — ABC
, произошло
только событие C — ABC
. Произошло только одно событие это значит или
только A, или только B , или только C , т.е. A BC + ABC + ABC
.
20