ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

( C ) = 0, 9 ⋅0,
9 ⋅0,
8 = 0,
648
( D ) = 0, 9 ⋅0,
9 ⋅0,
8 + 0,
1⋅0,
9 ⋅0,
8 + 0,
9 ⋅0,
1⋅0,
8 + 0,
9 ⋅0,
9 ⋅0,
2 = 0,
954
( E ) = 1−
0, 1⋅0,
1⋅0,
2 = 0,
998
4
( A) = 0, 6 = 0,
1296
3
( A ) = 0, 6 ⋅0,
4 = 0,
24 P( B) = 1−
0, 6 = 0,
784
P ;
P ;
P .
4) P
.
5) P ;
.
C32 6) P( A) = 1−
= 0,
31.
3
C
7)
3
36
1 1 1
C10 ⋅C3
⋅C7
A =
= 0,
3
C20
C + C + C
; B .
3
C
10 3 7
P ( ) 184 P( ) =
= 0,
137
( ) 18
3
3
20
2
3
2
( B) = 3⋅0, 2 ⋅0,
5 + 3⋅0,
5 ⋅0,
2 = 0,
21
8) P A = 6 ⋅0, 2 ⋅0,
3⋅0,
5 = 0,
; P
.
n
9) 1− 0,
75 ≥ 0,
9 ⇒ n ≥ 9 .
4 10 7 5 5
10) P( A ) = ⋅ + ⋅ = = 0,
455.
11 15 11 15 11
3 ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
называется полной группой собы-
Вспомним, что
Набор случайных событий
тий, если
• Н1 + Н 2 + K + Н п = Ω
• Н ⋅ Н = ∅ при i ≠ j .
i
j
Н , , K,
1 Н 2 Н п
События, входящие в полную группу, часто называются гипотезами.
( )
Для вероятностей гипотез справедливо следующее равенство Р Н i = 1.
ТЕОРЕМА 1 Если Н 1, Н 2 , K,
Н п
– полная группа событий с ненулевыми вероятностями,
то для любого случайного события A, имеет место
равенство: Р ( А) ∑ Р( Н ) Р(
= п i=
1
А
i Н i
п
∑
i=
1
), которое называется формулой
полной вероятности.
ТЕОРЕМА 2 Если Н 1, Н 2 , K,
Н п
– полная группа событий с ненулевыми вероятностями,
то для любого случайного события A, такого что
Р ( А ) > 0 , справедливы равенства Байеса
Р
( )
( Нi
) Р( А Нi
)
Р Нi
А
.
Р Н Р А Н
= п
∑
i=
1
( ) ( )
i
Формулы Байеса используются в ситуации, когда эксперимент уже проведен,
событие A в нем наступило и требуется оценить шансы наступления при этом гипотез
Н i . Это формулы пересчета вероятностей гипотез на основании результатов эксперимента.
i
30