Systèmes de numération - UQAC

Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationExemple 5 :. Trouver la valeur octale de 0.1 10 :Transformation de fractions décimales en base bb = 8.1.8.4.2.6.8.4.2.6.8entier0631463146fraction.8.4.2.6.8.4.2.6.8.4Liste des chiffres composant la fraction en base b0 6 3 1 4 6 3 1 4 6 ….Position du point décimalOn obtient 0.1 10 = 0.0[6314][6314][6314][...] 8 . On se rend compte que le nombre fractionnaire0.1 10 , représenté dans la base 10 par une suite finie de décimales non nulles, est représenté parune suite infinie de décimales non nulles dans la représentation en octal (les chiffres 3146 sontrépétés indéfiniment).Pour trouver la valeur en base b d'un nombre qui comprend à la fois une partie entière et unepartie fractionnaire, on utilise les deux méthodes exposées plus haut: d'abord on trouve la valeurde la partie entière en faisant une suite de divisions par la base et en regroupant dans l'ordreinverse les restes obtenus. Ensuite, on convertit la partie fractionnaire en effectuant une suite demultiplications par la base, les parties entières des résultats intermédiaires obtenussuccessivement nous fournissant les chiffres de la représentation désirée.1.2.3 Conversion du binaire vers l'octalPuisque 8 = 2 3 , la base 8 est un multiple de la base 2. Cette constatation simplifie grandement laconversion d'un nombre octal en binaire et vice-versa. En effet, en binaire, 7 8 s'écrit 111 2 . C'estdonc dire qu'il ne faut jamais plus de trois positions binaires pour représenter un symbole octal,tous forcément plus petits que 7. Mais voyons de plus près la relation qui existe entre un nombreen binaire et son équivalent octal à l'aide d'un exemple.Soit un nombre binaire quelconque, par exemple 101010 2 . Ce nombre peut se réécrire ainsi:101010 2 = (1 x 2 5 ) + (0 x 2 4 ) + (1 x 2 3 ) + (0 x 2 2 ) + (1 x 2 1 ) + (0 x 2 0 )13