Systèmes de numération - UQAC

Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationExemple : Supposons que l'on veuille faire l'addition des nombres 0.100110 * 2 4 et 0.110101 *2 1 . Il faut en premier lieu rendre les exposants égaux. On réalise cela en décalant de 3 positionsbinaires le point décimal du deuxième nombre pour obtenir ainsi 0.000110101 * 2 4 . Décaler d'uneposition vers la droite le point décimal revient à diviser la mantisse par 2. Pour conserver lavaleur du nombre, à chaque décalage d'une position, on ajoute 1 à l'exposant. Aussi, 3 décalagesvers la droite sont compensés par l'addition de 3 à l'exposant. Cependant, la mantisse étantétendue sur 6 bits vers la droite, les bits dépassant la 6ième position seront ignorés. Le deuxièmenombre que la machine considèrera pour l'addition deviendra 0.000110 * 2 4 si on tronque ou0.000111 * 2 4 si on arrondit, cela dépendant du fabricant de la machine. Par la suite, l'additiondes deux mantisses se fera donnant comme résultat soit avec la mantisse tronquée:0.100110 (*2 4 )+ 0.000110 (*2 4 )0.101100 (*2 4 )ouavec la mantisse arrondie:0.100110 (*2 4 )+ 0.000111 (*2 4 )0.101101 (*2 4 )On réalise ici que le résultat d'une addition peut être très imprécis en virgule flottante. En termesclairs, l'addition demandée en décimale était35/2 + 117/64 qui devrait donner comme résultat 1237/64 ou 19+21/64 19.32815.Les résultats obtenus sont:avec la mantisse tronquée: 35/2 + 3/2 = 19avec la mantisse arrondie: 35/2 + 7/4 = 77/4 = 19.25.L'erreur commise est dans le premier cas de 0.32815 et dans le second de 0.07815 . Cette erreurest d'autant plus importante que la différence entre les exposants est grande. Notons que l'erreurcommise est moins grande pour l'arrondi que pour la troncature.En analyse numérique, on démontre que pour la somme de n nombres, la précision est plusgrande si on ordonne d'abord les nombres en ordre croissant pour les additionner l'un après l'autreen partant du plus petit au plus grand. Cet algorithme réduit au minimum la différence entre lesexposants à chaque addition successive de deux nombres . Donnons un autre exemple encore plusfrappant démontrant que l'addition en virgule flottante n'est pas très précise dans les cas où lesexposants sont très différents.Effectuons l'addition des deux nombres suivants exprimés sur cinq bits:0.10110 * 2 3 + 0.10011 * 2 -2 . On ramène les exposants égaux, c'est-à-dire le plus petit vers le plusgrand, ce qui donne :66