SystÃ¨mes de numÃ©ration - UQAC

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Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationcaractère), celles-ci ne pourront être détectées par le bit de parité. De plus si nous avons uneerreur dans le réception d’un des bits de parité nous ne pourrons plus valider correctement latransmission des 8 bits associé a ce mauvais bits de parité.1.7.2 Les codes de HammingOn peut généraliser le processus de la détection et même de la correction d'erreurs à l'aide d'unagencement de bits de parité. Les codes de Hamming constituent un moyen. Nous ne ferons pasici la théorie générale de ce type de codes, nous nous contenterons de donner quelques élémentset d'illustrer leur utilisation à travers des exemples. Voici une recette de construction de code deHamming.Soit N, le nombre total de bits à transmettre, M, le nombre de bits constituant le message et K, lenombre de bits du code de Hamming. Ces derniers sont ajoutés, ils ne font pas partie del'information proprement dite et forme ce qu'on appelle une redondance. On doit avoir, dans tousles cas, la relation suivante:N = M + K ou 1 ≤ N ≤ (2 K – 1), 1 ≤ Koù les K bits de parité sont placés dans les positions 2 0 , 2 1 , 2 2 , …, 2 K-1 ou encore 1, 2, 4, 8, 16,32, ...Pour une valeur de N donnée, on peut déduire la valeur minimale pour K satisfaisant la conditionet finalement obtenir la longueur du message M possible. On a le tableau de valeurs suivant:Figure 7 : Code de HammingN 1 2 3 4 5 6 7 8 … 15 16 … 128K 1 2 2 3 3 3 3 4 … 4 5 … 8M 0 0 1 1 2 3 4 4 … 11 11 … 120Chacun des bits de parité contrôlera un certain nombre de bits du groupe de N bits. Commentdétermine-t-on ceux-ci? On le fait en décomposant le numéro de la position des bits en binaire,le bit en position 1 0001 sera donc contrôlé par le bit de parité en position 2 0le bit en position 2 0010 sera donc contrôlé par le bit de parité en position 2 1le bit en position 3 0011 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 0 et 2 1le bit en position 4 0100 sera donc contrôlé par le bit de parité en position 2 2le bit en position 5 0101 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 0 et 2 2le bit en position 6 0110 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 1 et 2 2le bit en position 7 0111 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 0 , 2 1 et 2 2le bit en position 8 1000 sera donc contrôlé par le bit de parité en position 2 3le bit en position 9 1001 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 0 et 2 3le bit en position 10 1010 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 1 et 2 3le bit en position 11 1011 sera donc contrôlé par les bits de parité en position 2 0 2 1 et 2 3et ainsi de suite.48
Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationInversement, on déduit :le bit de parité en position 2 0 contrôle les bits en position impaire 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...le bit de parité en position 2 1 contrôle les bits en position 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, ...le bit de parité en position 2 2 contrôle les bits en position 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 28, ...le bit de parité en position 2 3 contrôle les bits en position 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ...le bit de parité en position 2 4 contrôle les bits en position 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ...et ainsi de suite….Ces suites se terminent selon le nombre N du groupe de bits transmis.Exemple 31 :Supposons que M = 7, K = 4, donc N = 11. Les 4 bits du code de Hamming seront dans lespositions 1, 2, 4 et 8 respectivement. Ces bits exercent le contrôle suivant:Exemple 32 :le bit de parité en position 2 0 contrôle les bits en position impaire 1, 3, 5, 7, 9, 11le bit de parité en position 2 1 contrôle les bits en position 2, 3, 6, 7, 10, 11le bit de parité en position 2 2 contrôle les bits en position 4, 5, 6, 7le bit de parité en position 2 3 contrôle les bits en position 8, 9, 10, 11Supposons que l'on veuille transmettre le caractère b (98d ou 62h), codé en ASCII sur7 bits1100010.Calculons le code de Hamming associé, c'est-à-dire les 4 bits de parité en position 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 dugroupe de 11 bits.49
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