Systèmes de numération - UQAC

Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationNotons que l'on a toujoursN 1 0= (N 1 0DIV b ) × b + N 1 0MOD b ,expression utile servant à trouver la représentation en base b du nombre N 10 par applicationssuccessives.1.2.2.2 Les fractionsQuelle que soit la base utilisée, la quantité représentée est la même; ce ne sont que les symbolesavec laquelle cette quantité est représentée qui changent. Comme une fraction est un nombreinférieur à 1 et que le symbole 1 a la même signification dans toutes les bases, la partiefractionnaire d'un nombre dans une base donnée demeure fractionnaire dans toute autre base.On sait aussi que la partie fractionnaire d'un nombre exprimée en base b peut se réécrire:C −1× b −1 + C −2× b −2 + . . . + C − m× b −mPar exemple, 0.35601 8 peut s'écrire sous la forme(3 x 8 -1 ) + (5 x 8 -2 ) + (6 x 8 -3 ) + (0 x 8 -4 ) + (1 x 8 -5 )et de même: 0.1250 10 se réécrit(1 X 10 -1 ) + (2 X 10 -2 ) + (5 X 10 -3 ) .Le problème posé maintenant est de trouver la valeur des coefficients :C -1 , C -2 , C -3 , ... , C -m ,quelque soit la base choisie b. On remarque que si on multiplie la dernière expression par 10 (labase), on obtient:(1 x 10 0 ) + (2 x 10 -1 ) + (5 x 10 -2 ) = 1.25 10 .Si on multiplie de nouveau par 10 la nouvelle partie fractionnaire obtenue, soit la fraction 0.25 10 ,on obtient:(2 x 10 0 ) + (5 x 10 -1 ) = 2.5 10 .En multipliant de nouveau par 10, la partie fractionnaire de l'expression précédente, soit 0.5 10 , onobtient:(5 x 10 0 ) = 5 10 .8