Systèmes de numération - UQAC

Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationComme 3 bits sont utilisés pour représenter la valeur absolue, on peut donc représenter 2 3 valeursabsolues différentes, soient les valeurs comprises entre 0 et 7. Le bit de signe nous permetd'affecter à chacune de ces valeurs un signe + ou -. Autrement dit, n-1 bits servent à représenter lavaleur absolue, ce qui donne une étendue possible allant dedonc de -7 à +7 dans notre exemple.Inconvénients:- (2 n-1 - 1) à (2 n-1 - 1)Cette méthode impose que le signe soit traité indépendamment de la valeur. Il faut doncdes circuits différents pour l'addition et la soustraction. De plus, on obtient deux représentationsdifférentes pour 0, soit +0 et -0.Pour palier à ces inconvénients, il faut un mode de représentation qui permet d'utiliser lemême circuit pour effectuer l’addition et la soustraction. Comme x - y = x + (-y), il faut que lesigne moins soit traité comme partie intégrante de la valeur négative. La forme complémentéeutilisée pour représenter les nombres négatifs permet de réaliser cet objectif.1.3.2 La représentation sous forme complémentéeLa représentation sous forme complémentée repose sur le fait que pour n bits de positions,le nombre de valeurs possibles et distinctes est limité à 2 n . Afin de mieux introduire cettereprésentation, choisissons l'exemple d'un compteur en base 10, avec disons, deux bits de positionqu'on pourrait imaginer comme étant deux roues dentées ayant chacune 10 positions numérotéesde 0 à 9. La plus grande valeur qu'on peut représenter avec ce mécanisme est alors 99. Pour faireune addition, par exemple 50 + 20, on se positionne à 50 et on avance de 20 positions pouratteindre 70. Jusque-là, tout cela est élémentaire.Maintenant, si on veut effectuer l'addition d'un nombre négatif, disons 50 + (-20), unemanière de faire est de se positionner au départ à 50 et de reculer de 20 positions pour trouver laposition 30, le bon résultat. Cependant, cette méthode suppose que notre mécanisme de rouesdentées puisse reculer et avancer au besoin, indiqué par un système de commande chargé dereconnaître le signe de l'opération.Supposons maintenant que l'on veuille réaliser une machine plus simple à deux rouesdentées qui ne pourrait qu'avancer et qui permettrait d'effectuer les additions autant que lessoustractions! Comme on va le voir, le concept de complément nous permet de le faire.On sait qu'une fois qu'on a atteint la valeur maximale, dans ce cas-ci 99, le compteurretombe fatalement à 00. C'est précisément le fait qu'il soit impossible de tenir compte de laretenue d'extrême gauche (n'ayant pas de troisième roue) qui nous simplifie la tâche: au lieu dereculer de 20 positions, on avancera de 80 positions. On atteindra ainsi la position 30,représentant le résultat souhaité ( 50 - 20 = 30)24