Systèmes de numération - UQAC

Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numération2 3 7 8= (2 × 8 2 ) + (3 × 8 1 ) + (7 × 8 0 )= (2 × 6 4 ) + (3 × 8 ) + (7 × 1 )= 1 5 9 1 0On rappelle que l'évaluation des calculs effectués en base 10 donne l'expression en base10 du nombre. Le procédé est le même quelque soit la base. Ainsi, pour trouver ce que vaut11011.1 2 en base 10 on décompose ce nombre comme suit:1 0 1 1. 1 2= (1 × 2 3 ) + (0 × 2 2 ) + (1 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) + (1 × 2 −1 )= (1 × 8 ) + (0 × 4 ) + (1 × 2 ) + (1 × 1) + (1 × 0 . 5)= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 . 5= 1 1. 5 1 0Exemple 1 : Trouver la valeur en base 10 de D3F4 16 .D 3 F. 4 1 6= (D × 1 6 2 ) + (3 × 1 6 1 ) + (F × 1 6 0 ) + (4 × 1 6 −1 )= (1 3 × 2 5 6 ) + (3 × 1 6 ) + (1 5 × 1) + (4 × 0 . 6 2 5 )= 3 3 2 8 + 4 8 + 1 5 + 0 . 2 5= 3 3 9 1. 2 5 1 01.2.2 Conversion du système décimal au système de base b1.2.2.1 Les entiersSi on divise un nombre décimal, par exemple 125, par 10 (la base) on obtient:1 2 51 0= 1 2 re st e 5On peut également dire que 125 modulo 10 égale 5. Or 5 est le dernier chiffre du nombre 125.Soit ce qui reste lorsqu'on a formé toutes les dizaines possibles. De plus, la partie entière durésultat, c’est-à-dire le nombre de dizaines, peut être obtenue par l'opération 125 DIV 10 .Si on reprend le résultat de la division, soit 12, et qu'on l'on divise à nouveau par la base, onobtient:1 21 0= 1 re st e 2Qui pourrait aussi se dire 12 modulo 10 = 2. On constate que 2 est le second chiffre du nombre125. Divisons encore une fois 1 par 10. On obtient:5