SystÃ¨mes de numÃ©ration - UQAC

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Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationNotons que l'on a toujoursN 1 0= (N 1 0DIV b ) × b + N 1 0MOD b ,expression utile servant à trouver la représentation en base b du nombre N 10 par applicationssuccessives.1.2.2.2 Les fractionsQuelle que soit la base utilisée, la quantité représentée est la même; ce ne sont que les symbolesavec laquelle cette quantité est représentée qui changent. Comme une fraction est un nombreinférieur à 1 et que le symbole 1 a la même signification dans toutes les bases, la partiefractionnaire d'un nombre dans une base donnée demeure fractionnaire dans toute autre base.On sait aussi que la partie fractionnaire d'un nombre exprimée en base b peut se réécrire:C −1× b −1 + C −2× b −2 + . . . + C − m× b −mPar exemple, 0.35601 8 peut s'écrire sous la forme(3 x 8 -1 ) + (5 x 8 -2 ) + (6 x 8 -3 ) + (0 x 8 -4 ) + (1 x 8 -5 )et de même: 0.1250 10 se réécrit(1 X 10 -1 ) + (2 X 10 -2 ) + (5 X 10 -3 ) .Le problème posé maintenant est de trouver la valeur des coefficients :C -1 , C -2 , C -3 , ... , C -m ,quelque soit la base choisie b. On remarque que si on multiplie la dernière expression par 10 (labase), on obtient:(1 x 10 0 ) + (2 x 10 -1 ) + (5 x 10 -2 ) = 1.25 10 .Si on multiplie de nouveau par 10 la nouvelle partie fractionnaire obtenue, soit la fraction 0.25 10 ,on obtient:(2 x 10 0 ) + (5 x 10 -1 ) = 2.5 10 .En multipliant de nouveau par 10, la partie fractionnaire de l'expression précédente, soit 0.5 10 , onobtient:(5 x 10 0 ) = 5 10 .8
Richard Tremblay et Djamal Rebaïnesystèmes de numérationEn regroupant dans l'ordre les parties entières obtenues à chacune des multiplications précédentes(c’est-à-dire 1, 2 et 5), on retrouve les coefficients C -1 , C -2 et C -3 .On peut ici encore présenter les résultats obtenus, comme on l'a fait pour les coefficients d'indicespositifs pour les entiers, dans un tableau:Figure 2: Transformation de fraction décimale en base bb =Fraction(à multiplier).125 .25 .5Résultat de lamultiplication parla base bPartieentièrePartiefractionnaire1.252.505.00Liste des chiffres composant la fraction en base b1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0Position du pointOn retrouve, bien sûr, la fraction de départ 0.125 10 .Pour trouver la valeur dans une base b quelconque d'un nombre fractionnaire exprimé au départen base 10, on procède de la même manière, c'est à dire par des multiplications successives de lapartie fractionnaire des résultats à chaque étape par b.9
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