THESE_EL HAMMAMI.pdf - Toubkal

3.2 Discrétisation 573.2 DiscrétisationLes méthodes aux différences finies sont les plus couramment pratiquées pour la résolutiondes problèmes de changement de phase, dans le cas des géométries de formesimple(rectangulaire, annulaire, ...). Et ce en raison de la facilité de leur mise en oeuvre etde leur adaptation facile à une telle géométrie. On utilise donc un schéma aux différencesfinies implicites pour résoudre, les équations, de quantité de mouvement, de chaleur et demasse dans les deux phases ainsi que les conditions aux limites et à l’interface. Commeces équations sont couplées, nous les résolvons simultanément.Pour discrétiser le système des équations gouvernantes, différentes méthode peuventêtre utilisées. Notons que le plus communément adoptées dans la littérature sont les méthodesutilisant les développement en séries de Taylor. Les termes convectifs axiales sontapprochés par une différence vers l’avant et les termes de convection et de diffusion radialepar une différence centrée. À l’interface gaz-liquide, les conditions mises en jeu pourla continuité de la contrainte de cisaillement et de flux de chaleur, sont approchées par unedifférence vers l’avant à l’ordre 2 pour ( )∂φet par une différence vers l’arrière à l’ordre∂r l2 pour ( )∂φ∂r mLa valeur d’une fonction φ au noeud (i, j). Pour simplifier les écritures nous allonsadopter les notations suivantesφ ′ r = ∂φ∂rφ ′′r = ∂2 φ∂r 2 φ ′′′r = ∂3 φ∂r 3 (3.1)φ ′ z = ∂φ∂z(3.2)Nous développons une approximation aux différences finies avec l’erreur de troncatureO(∆r) 2 pour φ ′ r au point (i, j) en utilisant φ i,j , φ i,j+1 et φ i,j−1 quand le maillageest non-uniforme. Nous utilisons la notation ∆r + = r i,j+1 − r i,j et ∆r − = r i,j − r i,j−1comme indiquée sur la figure 3.1. Nous nous rappelons que pour un maillage uniforme,la représentation d’une différence centrée pour une dérivé première est équivalente à