THESE_EL HAMMAMI.pdf - Toubkal

3.2 Discrétisation 58la moyenne arithmétique d’une représentation vers l’avant et vers l’arrière. Donc pour∆r + = ∆r − = ∆r nous pouvons écrire :∂φ∂r ∣ = δ rφ i,ji,j2∆r = ∆ rφ i,j + ∇ r φ i,j+ O(∆r) 2 (3.3)2∆rPour un pas variable, l’utilisation d’une progression géométrique préservera l’exactitudedu second ordre :∂φ∂r ∣ = ∆ ( )rφ i,j ∆r −+ ∇ ( )rφ i,j ∆r ++ O(∆r) 2 (3.4)i,j∆r + ∆r + + ∆r − ∆r − ∆r + + ∆r −Le rapport ci-dessus peut être évident à certains cas, il peut étre vérifié au moyennede développement de Taylor au point (i, j). En adoptant les notations citées ci-dessus onobtient :φ i,j+1 = φ i,j + (α∆r − )φ ′ r + (α∆r −) 2φ i,j−1 = φ i,j + (−∆r − )φ ′ r + (−∆r −) 22!2!φ ′′r + (α∆r −) 33!φ ′′r + (−∆r −) 33!φ ′′′rφ ′′′r+ ... (3.5)+ ... (3.6)Pour calculer φ r , nous multiplions l’équation (3.5) par a et l’équation (3.6) par b, etnous rajoutons les deux équations. Ce qui exige que le coefficient de ∂φ∂r | i,j∆r − soit égaleà un, après l’addition on trouve αa − b = 1. Pour avoir une erreur de troncature O(∆r) 2 ,le coefficient de φ ′′rr doit être égale à zéro, on obtient encore α2 a + b = 0. À partir de cesdeux équations algébriques,(3.5) et (3.6) on trouve donc a et b ; a = 1−αet b = − :α(α+1) (α+1)suit :∂φ∂r ∣ = aφ i,j+1 − (a + b)φ i,j + bφ i,j−1+ O(∆r) 2 (3.7)i,ja∆r + + b∆r −En remplace a et b par leurs valeurs, la dérivée de la variable φ peut être écrite comme∂φ∂r ∣ = φ i,j+1 + (α 2 − 1)φ i,j − α 2 φ i,j−1+ O(∆r) 2 (3.8)i,jα(α + 1)∆r −De la même manière on trouve la dérivée seconde au premier ordre :