Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione ...

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94 Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione Angolare il denominatore è complesso, vista la presenza di iΓi/2. Quindi fq1q2f ∗ q3q4 è il prodotto di duenumericomplessi.Valelacondizione: (a + ib)(c + id) ∗ ∈ R sse a c = b d che in questo caso significa fq1q2 = lfq3q4,conl∈ R, cioè che i due termini devono essere proporzionali. Questa è un’indicazione utile per una possibile valutazione numerica. La tecnica migliore dal punto di vista analitico è valutare direttamente la parte reale ed immaginaria di fq1q2f ∗ q3q4 .Nell’appendice(D.8) è riportato tutto il calcolo esplicitamente, il risultato è: Re fq1q2f ∗ X ¯ q3q4 = g ¯rC 1 q1 (br)¯ ¯ i ® i ¯ ¯rC 1 q2 (br)¯ ¯ f ® g ¯ ¯rC 1 q3 (br)¯ ¯ j ® j ¯ ¯rC 1 q4 (br)¯ ¯ f ® × Im fq1q2f ∗ q3q4 ij × (Eg + ~ω0 ) 2 + EiEj − (~ω0 + Eg)(Ei + Ej)+Γ 2 /4 h (Eg − Ei + ~ω0 ) 2 + Γ 2 ih /4 (Eg − Ej + ~ω0 ) 2 + Γ 2 /4 i (6.36) X ¯ = − g ¯rC 1 q1 (br)¯ ¯ i ® i ¯ ¯rC 1 q2 (br)¯ ¯ f ® g ¯ ¯rC 1 q3 (br)¯ ¯ j ® j ¯ ¯rC 1 q4 (br)¯ ¯ f ® × × Γ 2 ij h (Eg − Ei + ~ω 0 ) 2 + Γ 2 /4 (Ei − Ej) ih (Eg − Ej + ~ω 0 ) 2 + Γ 2 /4 i (6.37) È necessario sottolineare che per l’inverso della vita media degli stati intermedi si è fatta l’approssimazione Γi = Γj = Γ. Si vede che se Γ 6= 0eseEi 6= Ej allora la parte immaginaria di fq1q2f ∗ q3q4 non è nulla, quindi si rompe la simmetria destra-sinistra nella diffusione Raman risonante. Quanto sia rilevante l’effetto di asimmetria sarà discusso nella prossima sezione. 6.5 Rimuovere l’asimmetria Come risultato dell’analisi dell’asimmetria si è visto che essa dipende dal rapporto tra la parte reale e la parte immaginaria del termine fq1q2f ∗ q3q4 . In letteratura si trovano diversi approcci per affrontare questo problema. Bisogna tuttavia sottolineare che per tutti gli autori il problema della parte immaginaria non è mai stato affrontato esplicitamente in questi termini, in quanto era avvertito solo come un ostacolo algebrico nello sviluppo completo della formula per la sezione d’urto. Il Capitolo 5 è un ottimo esempio di quali siano state le ragioni che hanno spinto i diversi autori ad applicare approssimazioni nella teoria. Dal momento in cui, però, si ha a disposizione la trattazione esatta è possibile determinare in modo evidente quali siano le ipotesi che si fanno sul sistema atomico applicando le aprossimazioni.
6» Rimuovere l’asimmetria 95 6.5.1 Approssimazione di fast-collision L’approssimazione di fast-collision è usata da tutti gli autori che affrontano il problema della diffusione Raman risonante con la tecnica di Judd (Rif.[3]) in seconda quantizzazione, quindi si vede applicata nei Rif.[16], [18], [19] e [20]. L’approssimazione di fast-collision può essere introdotta in diversi modi. Un modo, che prende in considerazione i tempi in cui i diversi stati intermedi interagiscono, è già stato presentato nella sezione (5.2), inquanto è quello che fa riferimento più da vicino al fenomeno fisico. Un approccio algebrico è quello di prendere in considerazione l’espansione del denominatore che dà luogo alla risonanza: (Eg − Ei + ~ω 0 + iΓi/2) −1 = ¡ Eg − E + ~ω 0 + iΓi/2 ¢ −1 × × ∞X µ −E + iΓi/2+Ei + iΓi/2 k=0 Eg − E + ~ω 0 + iΓi/2 L’espansione del denominatore può essere troncata all’ordine 0 quando: max ¡¯ ¯Eg − E + ~ω 0¯ ¢ ¯ , Γi À ∆E dove ∆E è la dispersione degli stati intermedi, che qui è correttamente definita come: ³ ¡Ei ∆E = − E ¢ ´ 1 2 2 Ladefinizionecheèstatadatanellasezione(5.2) di dispersione degli stati ∆E èprobabilmente meno corretta matematicamente, ma più intuitiva dal punto di vista fisico. Il significato fisico rimane comunque che la durata della collisione è talmente breve che l’assorbimento e l’emissione dei fotoni sono praticamente simultanei. Questo lega anche la tecnica algebrica al processo fisico. Infatti, applicando l’approssimazione di fast-collision, algebricamente si eliminano gli operatori elettronici di distruzione e creazione relativi alla shell di core dello stato fondamentale, come descritto nella sezione (5.2),inmodotaleche il processo è descritto come la transizone di un elettrone dalla shell di core da uno stato ad energia superiore rispetto allo stato fondamentale, alla shell di valenza; d’altra parte fisicamente possiamo interpretare la simultaneità dell’assorbimento e dell’emissione allo stesso modo, infatti questa interpretazione dell’approssimazione di fast-collision è anche nota in letteratura (Rif.[20]) col nome di “no core-hole propagation”, che allude al fatto che il processo di propagazione di una lacuna dallo stato fondamentale di core ad uno ad energia superiore non compare più esplicitamente. Un altro modo di descrivere l’approssimazione di fast-collision consiste nel considerare l’espressione (4.19), che è lo sviluppo del modulo quadro della formula di Kramers-Heisenberg. Si dice che c’è un cammino da |gi ad |fi quando sia l’elemento della matrice di transizione i ¯ ¯T (l1) ¯ ¯ g ® che quello f ¯ ¯T (l2)† ¯ ¯ i ® hanno entrambi un valore diverso da zero sufficientemente grande. Quindi, se il numeratore, che è determinato dagli elemnti di matrice, è piccolo, si dirà che non c’è nessun cammino possibile. L’approssimazione di fast-collision k
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