Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione ...

D» Proiezione di uno stato discreto su uno stato appartenente al continuo 117
eventualipolidiscretiEα lontani da Ei e Ef danno un contributo del tipo:
1
(Eα − Ei)(Eα − Ef) Re s hΨf |VG(Eα) V | Ψii×
× exp iT
µ
Ef + Ei
− Eα
~ 2
Viste le ipotesi fatte sui poli Eα i denominatori sono grandi, quindi il coefficiente dell’esponenziale
è piccolo. Inoltre quando T →∞l’esponenziale diventa una funzione rapidamente oscillante
di Ei e Ef, che, nella teoria delle distribuzioni, è nulla.
In definitiva, le singolarità dell’elemento hΨf |VG(Eα) V | Ψii non contribuiscono all’integrale
dell’espressione (D.1), quindi per calcolare tale espressione è sufficiente applicare il teorema
dei residui ai poli generati dai denominatori (z − Ei) e (z − Ef).
D.3 Proiezione di uno stato discreto su uno stato appartenente
al continuo
Si danno per note le relazioni di Cartan:
X 1
z − k
X 1
(z − k) k
2 = π2 ¡ 1 +cot2πz ¢
Nel paragrafo (2.4.3) sono state ricevate le seguenti espressioni:
k
= π cot πz (D.2)
Eµ hk|µi = Ek hk|µi + v hb, 0|µi
v X
hk|µi + Eb hb, 0|µi = Eµ hb, 0|µi
kµ
(D.3)
Queste espressioni sono il risultato della proiezione dell’equazione agli autovalori dell’hamiltoniano
totale H sugli autostati hk| e hb, 0| dell’hamiltoniano imperturbato H0. Laprimadiqueste
equazioni si può riscrivere come:
hk|µi = v
hb, 0|µi
Eµ − Ek
Sostituendo questa espressione nella prima si ha:
X v2 = Eµ − Eb =
k
Eµ − Ek
= v2
δ
X
k
µ Eµ
δ
−1
− k