Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione ...

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64 Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione Angolare Rispetto alla formula riportata nell’articolo ci sono alcune differenze. ³ Innanzitutto abbiamo adottato la stessa notazione del precedente capitolo, quindi i vettori bε 0b ´ 0 k sono il versore ³ di polarizzazione e il vettore d’onda del fotone incidente e i vettori bε 00b ´ 00 k si riferiscono al fotone emesso. Inoltre nel nostro lavoro si considera la possibilità di avere transizioni di multipolo di ordine diverso in assorbimento e in emissione, da cui i due valori distinti di L 0 e L 00 ; poi si considera il caso di diffusione anelastica, quindi con due possibili valori distinti di M 0 e M 00 . Nel seguito del capitolo si farà riferimento a diversi articoli di letteratura, visto che una trattazione completa e coerente del problema si riesce ad ottenere solo tenendo presente gli apporti di più autori. Tuttavia le formule presentate in questa tesi sono state scritte per il caso della diffusione anelastica risonante, quindi è importante sottolineare che le differenze con le formule presenti in letteratura dipendono dal diverso tipo di diffusione risonante che si considera. Ad esempio, nel Rif.[13] si considera solo la diffusione elastica risonante; nel Rif.[16] si considera diffusione quasi-elastica, cioè con la stessa configurazione per stato iniziale e finale, ma con gli elettroni che ocupano stati differenti. 5.1.1 Parte geometrica In questa formulazione, la parte che descrive la geometria del sistema e che contiene h le informazioni sulle polarizzazioni della luce incidente ed emessa è il prodotto tra bε 0 · −→ Y ∗ L0M 0 ³ ´i bk 0 h e bε 00∗ · −→ Y L00M 00 ³ ´i bk 00 . Le armoniche sferiche che sono presenti in questo prodotto sono armoniche sferiche vettoriali di tipo elettrico, che sono trattate nell’appendice (A.3): quelle che, per brevità, da qui in poi sono indicate come −→ Y LM corrispondono quindi alle −→ Y (+1) JM (ϑ, ϕ) dell’appendice (A.3). 5.1.2 Parte atomica La parte dipendente dalle frequenze, che contiene le energie atomiche, è qui invece descritta dall’elemento di matrice hf |FL0M 0L00M 00 (ω0 )| gi .Uncorrettosvilupposiquestoelemento di matrice si ottiene con un accurato sviluppo in armoniche sferiche e funzioni di Bessel dell’hamiltoniano di interazione tra campo elettromagnetico e materia. Lo sviluppo di tale procedimento è qui omesso e si rimanda al Rif.[17]. L’espressione che si ottiene per tale elemento di matrice è: hf |FL0M 0L00M 00 (ω0k)| gi = X 16π i 2 e 2 k 0 X 00 k i nm L0 k L0− 3 r L0 + 1 2 L0 (−i) L00 k 00L00− 1 r L00 + 1 2 L00 × ¯ 1 f ¯r × L00 n Y ∗ L00M 00 (brn) ¯ i ® i ¯ ¯rL0 m YL0M 0 (brm) ¯ g ® [L 0 ]!! [L 00 ]!! Eg − Ei + ~ω 0 + iΓi/2
5» Calcolo della sezione d’urto in approssimazione di fast-collision 65 lzσ 3d hν’ 3s j2 m2 hν’’ 2p j1m1 j1 m1’ Fig. 5.15. Schema delle transizioni nel caso di diffusione anelastica, con indicazione dei numeri quantici degli stati elettronici e di lacuna. Il passaggio successivo è quello di passare alla descrizione degli elementi di matrice f ¯ ¯rL00 n Y ∗ L00M 00 ¯ i ® e i ¯ L r 0 m YL0M 0 ¯ ® ¯ g in seconda quantizzazione. La teoria per questo passaggio si trova nel Cap.2 del Rif.[3]. I passaggi algebrici sia per assorbimento che emissione si trovano in modo dettagliato nell’appendice (D.4). Il risultato che si ottiene è che per la diffusione possiamo risrivere il prodotto degli elementi di matrice come: hf |FL0M 0L00M 00 (ω0 )| gi = 4π k0 RL00 k00 L0k0 (c1l, c2c1) × (5.25) × X X −M 00 (−1) lzσ m1m2m 0 1 M 0 M 00 γ 1γ 0 1 γ 2 σ 0 ×C llz c1γ1L0 M 0C c1γ0 1 c2γ2L00−M 00 × × D f ¯ ¯c † j1m 0 1 cj2m2G (ω 0 k) l † C j1m1 1 c1γ1 2 σCj2m2 1 c2γ2 lzσ cj1m1 ¯ E ¯ g c1γ0 1 1 2 σ0 × 2 σ0C j1m 0 1 Prima di esplicitare i vari fattori che appaiono nella formula, spieghiamo i valori dei diversi numeri quantici. L’identificazione dei numeri quantici è data in modo pittorico nella Fig.(5.15). Per la lacuna nella shell di core c1 e 1 sono i numeri quantici di momento orbitale e di 2 spin, γ1 e σ sono le rispettive componenti. Questi due momenti sono accoppiati tramite il coefficiente di Clebsch-Gordon C j1m1 1 nel numero quantico di momento angolare totale j1 c1γ1 σ 2 e nella sua componente m1. Il significato dei numeri quantici che hanno al pedice il valore 2 è analogo; in questo caso le proiezioni del momenti sono indicate primate, in quanto è importante notare che nella configurazione finale la componente di j1 èindicatacome m0 1: questo significa che la configurazione finale per la shell di core più profonda è uguale alla configurazione iniziale ma non si trova necessariamente nello stesso stato. Analogo è anche il significato di C j2m2 1 c2γ2 2 σ0. Per la shell di valenza, l è il numero quantico del momento orbitale e lz la corrispondente componente, mentre 1 e σ sono sempre i numeri quantici 2 relativi al momento di spin dell’elettrone nella shell di valenza, che, per la transizione in approssimazione di dipolo elettrico, sono gli stessi della lacuna di core (j1m1), cosìcome
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