Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione ...

24 Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione Angolare
Quindi la matrice Tfi risulta:
¿
Tfi =
¯
Ψf ¯Hd 1
1
Ei − H + iη Hd ¯
1¯
Ψi
À
Per riuscire a calcolare questo elemento di matrice si deve utilizzare un modello del fenomeno
introdotto da Ugo Fano (Rif.[26]) e succesivamente ripreso nel Rif.[4]. Lo stato intermedio
del sistema è lo stato |b, 0i che corrisponde allo stato in cui l’atomo si trova
nello stato eccitato |ψbi e l’unico fotone presente inizialmente nel sistema è stato assorbito,
quindi in assenza di quanti del campo elettromagnetico. Gli stati |Ψii, |Ψfi, e|b, 0i
sono tutti autostati dell’hamiltoniano imperturbato H0: glistati|Ψiie |Ψfi sono stati che
appartengono ad un continuo, invece |b, 0i è uno stato discreto. Il processo viene quindi descritto
come la transizione tra due stati che appartengono ad un continuo, con il passaggio
del sistema attraverso uno stato discreto.
Per poter affrontare il problema si devono discretizzare gli stati continui, con una tecnica
analoga a quella usata per il campo eletromagnetico. Gli stati |Ψαi del continuo sono
sostituiti con gli stati discreti |ki che hanno energie distanti per un parametro δ. Ladensità
degli stati è quindi 1/δ. I risultati fisici si ottengono facendo il limite per δ → 0. Si
definisce l’elemento di matrice:
hk |V | b, 0i = v
Si è supposto che il valore di questo elemento di matrice sia indipendente da |ki. L’applicazione
della regola d’oro di Fermi per un sistema inizialmente nello stato |b, 0i porta ad una probabilità
di transizione per unità di tempo verso il continuo data da:
Γb = 2π
~δ v2
(2.9)
Avendo calcolato questa probabilità con la regola d’oro di Fermi non generalizzata, questo
è un effetto al secondo ordine nell’hamiltoniano d’interazione.
Supponendo che il continuo discretizzato si estenda da −∞ a +∞ con i livelli equidistanti
separati dalla quantità δ,siha:
H0 |ki = Ek |ki = kδ |ki
Dove k appartiene ai numeri interi relativi (∈ I). Allo stesso modo, si può scrivere per il
livello discreto:
H0 |b, 0i = Eb |b, 0i
Si suppone inoltre che, a parte l’elemento di matrice hk |V | b, 0i, tutti gli altri sono nulli:
hb, 0 |V | b, 0i = hk |V | k 0 i =0
Si considerano ora gli autostati |µi dell’hamiltoniano totale H = H0 + V :
H|µi = Eµ |µi