Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione ...
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102<br />
Appen<strong>di</strong>ce A<br />
Armoniche sferiche<br />
La forma esplicita per le armoniche sferiche è:<br />
Y l m (ϑ, ϕ) =e imϕ<br />
s<br />
[l] (l − m)!<br />
4π (l + m)! P l m (cos ϑ)<br />
Dove è stata adottata la notazione (3.13), notazione che verrà adottata in tutte le appen<strong>di</strong>ci.<br />
È <strong>con</strong>veniente definire anche le armoniche sferiche ridotte, che <strong>di</strong>fferis<strong>con</strong>o dalle armoniche<br />
sferiche per un fattore <strong>di</strong> normalizzazione:<br />
C l m (ϑ, ϕ) =<br />
r 4π<br />
2l + 1 Y l m (ϑ, ϕ)<br />
La funzione Cl m (ϑ, ϕ) sod<strong>di</strong>sfa la seguente relazione:<br />
X<br />
C l m (ϑ, ϕ) C l −m (ϑ, ϕ)(−1) m = 1<br />
m<br />
A.1 Sviluppo <strong>di</strong> un vettore sulla base delle armoniche sferiche<br />
Le componenti sferiche <strong>di</strong> un vettore reale possono essere scritte sulla base delle armoniche<br />
sferiche e delle armoniche sferiche ridotte:<br />
q ¯<br />
4π ¯<br />
Aµ = 3 ¯ −→ ¯<br />
A ¯ Y 1 µ (ϑ, ϕ) A µ q ¯<br />
4π ¯<br />
= 3 ¯ −→ ¯<br />
A ¯ Y 1∗<br />
µ (ϑ, ϕ)<br />
¯<br />
Aµ = ¯ −→ ¯<br />
A ¯ C1 µ (ϑ, ϕ) A µ ¯<br />
= ¯ −→ ¯<br />
A¯<br />
C1∗ µ (ϑ, ϕ)<br />
Con µ = ±1, 0 .<br />
A.2 La serie <strong>di</strong> Clebsch-Gordon<br />
Il prodotto <strong>di</strong>retto <strong>di</strong> due armoniche sferiche ridotte <strong>con</strong> lo stesso argomento può essere<br />
espanso in serie come:<br />
C l1<br />
m1 (ϑ, ϕ) Cl2<br />
m2<br />
(ϑ, ϕ) =X<br />
LM<br />
C L0<br />
l10l20C LM<br />
l1m1l2m2 CL M (ϑ, ϕ)
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