Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione ...

22 Diffusione Raman Anelastica Risonante di Raggi X con Risoluzione Angolare
Calcolando con questa espressione l’elemento di matrice contenuto nella formula (2.7), si
ha:
δif
hΨf |G (z)| Ψii = +
z − Ei
1
+
(z − Ei)(z − Ef) hΨf |(V + VG(z) V )| Ψii
Sostituendo questa espressione nella formula (2.7), si può calcolare l’integrale nel campo
complesso utilizzando il teorema dei residui, come mostrato nell’appendice (D.2). Il risultato
che si ottiene è:
Sfi =
n
lim e
T →∞
iT(Ef +Ei)/2~ £ δife−iEiT/~ +
+Tfi (Ei) e−iEiT/~
Ei − Ef
+ Tfi (Ef) e−iEf T/~
Ef − Ei
È stato definito il termine Tfi(E) per z = E + iη:
Tfi (E) =hΨf |(V + VG(E + iη) V )| Ψii
Applicando ben note relazioni trigonometriche, si può riscrivere la matrice di diffusione
come:
µ
Tfi(Ei) − Tfi (Ef)
Sfi = δfi +lim
T →∞ Ei − Ef
−i Tfi (Ei)+Tfi (Ef)
Ef − Ei
¸¾
cos (Ef − Ei) T
2~ +
sin (Ef − Ei) T
2~
Il coefficiente della funzione coseno è finito per Ei → Ef, facendo tendere T all’infinito,
il coseno è una funzione rapidamente oscillante in (Ef − Ei) d’ampiezza finita, quindi, nel
senso delle distribuzioni, questa funzione è nulla. Nella parte che dipende dalla funzione
seno si riconosce la funzione πδ (T ) (Ef − Ei), in modo tale che al limite per T →∞si
ha:
Con:
Sfi = δfi − 2iπδ (Ef − Ei) Tfi
Tfi = hΨf |(V + VG(Ei + iη) V )| Ψii
2.4.2 Propagatore nel caso risonante
La matrice di diffusione Sfi così ricavata è assolutamente generale, contiene tutti gli ordini
dello sviluppo perturbativo e si basa solo sull’assunzione di regolarità dell’elemento di
matrice hΨf |VG(z) V | Ψii come mostrato nell’appendice (D.2). È possibile ottenere lo
sviluppo perturbativo ai diversi ordini, applicando lo sviluppo di G (Ei + iη) analogo a