Cálculo integral em R

1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.
2
1
−2
y
1
2
3
y = x − 2
y = 2 − x
6. Recordemos a fórmula de primitivação por partes P (u ′ v) = uv−P(uv ′ ). Tomando u ′ = 1
e v = log x obtemos
Assim,
P 1 · log x = x log x − P x 1
= x log x − x = x(log x − 1).
x
e
1
log xdx = [x(log x − 1)] e
1 = e(1 − 1) − (−1) = 1.
7. A função f(x) = arctg x é a função trignométrica inversa da tangente. Esta função está
definida em todo o R e tem como contradomínio ] − π π
2 , 2 [. O seu gráfico encontra-se
representado na seguinte figura.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
− √ 3
π 2
√
3
−
3
-4 -2
−
0 2 4
π 2
Tem-se (arctg x) ′ = 1
1+x 2. Como P f ′ f = 1
2 f2 obtemos
Assim,
1
0
P
arctg x
= P
1 + x2 −1
π 3
π 4
π 6
− π 6
− π 4
− π 3
√ 3
3
1
x
√ 3
1 1
1 + x2arctg x =
2 arctg2x. arctg x 1 2 1 1
dx = arctg x =
1 + x2 2 0 2 (arctg21 − arctg 2 0) = 1
2
atan(x)
π
2 =
4
π2
32 .
ISA/UTL – Licões de Matemática – 2005 9