Cálculo integral em R
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1.3 Aplicações do cálculo <strong>integral</strong><br />
• <strong>Cálculo</strong> de áreas.<br />
• <strong>Cálculo</strong> de volumes de sólidos de revolução.<br />
• <strong>Cálculo</strong> de comprimentos de arco.<br />
1.3. APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.3.1 Se f,g : I = [a,b] → R são duas funções integráveis tais que f(x) ≥ g(x)<br />
b<br />
para todo o x ∈ [a,b], (f(x) − g(x))dx representa a área da região {(x,y) ∈ R2 : a ≤ x ≤<br />
b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} (ver a seguinte figura).<br />
Observações<br />
a<br />
y<br />
a<br />
g<br />
f<br />
R b<br />
(f(x) − g(x))dx<br />
a<br />
Se o sinal de f − g não for constante no intervalo [a,b] t<strong>em</strong>os que determinar os pontos onde<br />
os gráficos de ambas as funções se intersectam e decompôr o intervalo <strong>em</strong> subintervalos onde<br />
esse sinal se mantenha constante. O valor da área será a soma das áreas <strong>em</strong> cada um desses<br />
subintervalos. No ex<strong>em</strong>plo descrito na seguinte figura a área da região assinalada v<strong>em</strong> dada pelo<br />
<strong>integral</strong><br />
c<br />
a<br />
d<br />
b<br />
(g(x) − f(x))dx + (f(x) − g(x))dx + (g(x) − f(x))dx.<br />
Vejamos dois ex<strong>em</strong>plos de cálculos de áreas.<br />
y<br />
c<br />
a c d b<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 17<br />
f<br />
g<br />
b<br />
d<br />
x<br />
x
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